Вправа 835
Коротка відповідь: ні, прямі \(a\), \(b\), \(c\) не належать одній площині.
Нехай припустимо, що всі три прямі лежать у площині \(\beta\). Тоді їхні точки перетину з площиною \(\alpha\):
\[ A=a\cap\alpha,\qquad B=b\cap\alpha,\qquad C=c\cap\alpha \]
належать одночасно площинам \(\alpha\) і \(\beta\).
Перетин двох площин — пряма. Отже, точки \(A\), \(B\), \(C\) мали б лежати на одній прямій. Але на малюнку вони не лежать на одній прямій. Тому площини \(\alpha\) і \(\beta\) не можуть існувати.
Отже, три попарно паралельні прямі можуть бути некомпланарними.
Обсуждение
2 сообщенияА де дано знайти і розвʼязання
Ось оформлення з розділами «Дано — Знайти — Розв’язання».
Дано:
Три попарно паралельні прямі \(a\), \(b\), \(c\) перетинають площину \(\alpha\) у точках \(A\), \(B\), \(C\), причому точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежать на одній прямій.
Знайти:
Довести, що прямі \(a\), \(b\), \(c\) не належать одній площині.
Розв’язання:
Припустімо, що прямі \(a\), \(b\), \(c\) лежать в одній площині \(\beta\).
Тоді точки їхнього перетину з площиною \(\alpha\):
\[ A=a\cap\alpha,\qquad B=b\cap\alpha,\qquad C=c\cap\alpha \]
належать одночасно площинам \(\alpha\) і \(\beta\).
Лінією перетину двох площин є пряма, тому точки \(A\), \(B\), \(C\) повинні лежати на одній прямій. Але за умовою вони неколінеарні. Маємо суперечність.
Отже, прямі \(a\), \(b\), \(c\) не належать одній площині.
Відповідь: три попарно паралельні прямі можуть бути некомпланарними.
