Сделать краткий конспект выделить

§ 1. Определение числовой функции

• Функция — зависимость, при которой каждому значению \(x\) соответствует единственное значение \(y\): \[ y=f(x). \]
• Область определения \(D(f)\) — множество допустимых значений \(x\).
• Область значений \(E(f)\) — множество всех значений \(y\), которые принимает функция.
• График функции — множество точек \((x; f(x))\) на координатной плоскости.

Примеры графиков

• \(y=ax^2+bx+c\) — парабола:

  • при \(a>0\) ветви направлены вверх;
  • при \(a<0\) — вниз;
  • абсцисса вершины: \[ x_0=-\frac{b}{2a}. \]

• \(y=\dfrac{k}{x}\) — гипербола:

  • при \(k>0\) ветви расположены в I и III четвертях;
  • при \(k<0\) — во II и IV четвертях.

• \(y=\sqrt{x}\): \[ D(f)=[0;+\infty),\qquad E(f)=[0;+\infty). \]

• \(y=|x|\): \[ D(f)=\mathbb R,\qquad E(f)=[0;+\infty). \]

Чтобы найти \(E(f)\) по графику, нужно спроектировать график на ось \(Oy\).

Очень краткий конспект

• Основные графики:
  \(y=kx+m\) — прямая;
  \(y=ax^2+bx+c\) — парабола;
  \(y=\dfrac{k}{x}\) — гипербола;
  \(y=\sqrt{x}\), \(y=|x|\).

• Преобразование графика:
  \[ y=f(x+a)+b \] получается из \(y=f(x)\) переносом:

  • влево на \(a\), если \(a>0\);
  • вправо на \(|a|\), если \(a<0\);
  • вверх на \(b\), если \(b>0\);
  • вниз на \(|b|\), если \(b<0\).

Очень краткий конспект

• Кусочная функция задаётся разными формулами на разных промежутках.
• Чтобы найти \(f(x)\), выбирают формулу по условию для \(x\).
• Если \(x\notin D(f)\), значение функции не существует.
• \(D(f)\) — область определения, \(E(f)\) — область значений.
• График состоит из частей графиков заданных формул на указанных промежутках.

Это продолжение текущей учебной цели — краткого конспекта.

Способы задания функции

• Аналитический: функция задаётся формулой.
• Графический: функция задаётся графиком.
• \(D(f)\) находят по проекции графика на \(Ox\), а \(E(f)\) — на \(Oy\).
• Каждому \(x\) соответствует только одно значение \(y\).

Главное

• Задать функцию — значит указать правило нахождения \(y\) по каждому \(x\in D(f)\).
• Аналитический способ — задание функции формулой или несколькими формулами.
• Графический способ — задание функции с помощью графика.
• Каждому \(x\) должна соответствовать только одна точка графика.
• \(D(f)\) находят по оси \(Ox\), а \(E(f)\) — по оси \(Oy\).

В примере: \[ D(f)=[-2;+\infty),\qquad E(f)=[-4;0]\cup(1;2]. \]

§ 1. Способы задания функции

• Аналитический — функция задана формулой \(y=f(x)\).
• Графический — функция задана графиком.
• Табличный — значения \(x\) и \(f(x)\) записаны в таблице.
• Словесный — правило задания функции описано словами.

Таблица помогает быстро находить значения функции без вычислений.
Обратный переход от графика к формуле часто бывает сложным.

Свойства функции

• Возрастает: \(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\).
• Убывает: \(x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)\).
• \(y=5-2x\) — убывает; \(y=x^3+2\) — возрастает.

Главное

• Ограничена снизу: \(f(x)\ge m\).
• Ограничена сверху: \(f(x)\le M\).
• Ограничена: если выполняются оба условия.
• На графике: функция находится между прямыми \(y=m\) и \(y=M\).
• Для \(y=\sqrt{9-x^2}\): \[ 0\le y\le3, \] значит, функция ограничена.

Главное

• Наименьшее значение \(y_{\min}\): \(f(x)\ge y_{\min}\).
• Наибольшее значение \(y_{\max}\): \(f(x)\le y_{\max}\).
• Если есть \(y_{\min}\), функция ограничена снизу; если есть \(y_{\max}\) — сверху.
• Выпуклость: график лежит ниже или выше соединяющего отрезка.
• Непрерывность: график не имеет разрывов.

Главное

По графику функции находят:

• \(D(f)=[-2;+\infty)\);
• функция возрастает до \(x=3\), затем убывает;
• \(y_{\min}=-4\) при \(x=-2\);
• \(y_{\max}=2\) при \(x=3\);
• \(E(f)=[-4;0]\cup(1;2]\);
• разрыв функции — при \(x=0\).

Чётная функция: \[ f(-x)=f(x). \] Её график симметричен относительно оси \(Oy\).