Реши задание на изображении
Визуальный осмотр уравнений
Я рассматриваю несколько уравнений на доске, вероятно, включая x^4 - 5x^2 - 36 = 0, x^4 - 6x^2 + 8 = 0 и, возможно, 4x^2 - 5x + 1 = 0. Я также изучаю детали изображения! На первой строке, по-видимому, написано «x⁴ - 5x² - 36 = 0». Вторая строка, судя по всему, содержит «x^4 - 6x² + 8 = 0». Верхние индексы в обоих уравнениях, похоже, имеют решающее значение для понимания этих квадратных уравнений.
Краткий ответ:
- \(x^4-5x^2-36=0\): \(\boxed{x=-3;\ 3}\)
- \(x^4-6x^2+8=0\): \(\boxed{x=-2;\ -\sqrt2;\ \sqrt2;\ 2}\)
- \(4x^2-5x+1=0\): \(\boxed{x=\frac14;\ 1}\)
1) \(x^4-5x^2-36=0\)
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену:
\[ t=x^2,\qquad x^4=t^2. \]
Получаем:
\[ t^2-5t-36=0. \]
Разложим на множители:
\[ (t-9)(t+4)=0. \]
Отсюда:
\[ t=9 \quad \text{или} \quad t=-4. \]
Так как \(t=x^2\ge 0\), значение \(t=-4\) не подходит.
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3. \]
2) \(x^4-6x^2+8=0\)
Пусть \(t=x^2\). Тогда:
\[ t^2-6t+8=0, \]
\[ (t-2)(t-4)=0. \]
Следовательно,
\[ t=2 \quad \text{или} \quad t=4. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2, \]
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]
3) \(4x^2-5x+1=0\)
Разложим на множители:
\[ 4x^2-5x+1=(4x-1)(x-1). \]
Тогда:
\[ (4x-1)(x-1)=0, \]
\[ 4x-1=0 \Rightarrow x=\frac14, \]
\[ x-1=0 \Rightarrow x=1. \]
Проверка: подстановка найденных корней в соответствующие уравнения даёт \(0\), значит, решения верны.
Обсуждение
2 сообщенияобъясни дискриминант этих уравнений
Для квадратного уравнения
\[ ax^2+bx+c=0 \]
дискриминант вычисляют по формуле:
\[ D=b^2-4ac. \]
Если \(D>0\), уравнение имеет два корня:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
1. \(x^4-5x^2-36=0\)
Это не квадратное уравнение относительно \(x\), поэтому введём замену:
\[ t=x^2. \]
Получаем:
\[ t^2-5t-36=0. \]
Здесь \(a=1,\ b=-5,\ c=-36\). Тогда:
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-36) =25+144=169. \]
\[ \sqrt D=13. \]
Находим \(t\):
\[ t=\frac{5\pm13}{2}. \]
\[ t_1=9,\qquad t_2=-4. \]
Так как \(t=x^2\), отрицательное значение \(t=-4\) не подходит.
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3. \]
Ответ: \(\boxed{x=-3;\ 3}\).
2. \(x^4-6x^2+8=0\)
Снова заменяем:
\[ t=x^2. \]
Получаем:
\[ t^2-6t+8=0. \]
Здесь \(a=1,\ b=-6,\ c=8\):
\[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8 =36-32=4. \]
\[ \sqrt D=2. \]
Тогда:
\[ t=\frac{6\pm2}{2}. \]
\[ t_1=4,\qquad t_2=2. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^2=4 \Rightarrow x=\pm2, \]
\[ x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2. \]
Ответ: \(\boxed{x=-2;\ -\sqrt2;\ \sqrt2;\ 2}\).
3. \(4x^2-5x+1=0\)
Это обычное квадратное уравнение. Здесь:
\[ a=4,\qquad b=-5,\qquad c=1. \]
Вычислим дискриминант:
\[ D=(-5)^2-4\cdot4\cdot1 =25-16=9. \]
\[ \sqrt D=3. \]
Корни:
\[ x=\frac{-(-5)\pm3}{2\cdot4} =\frac{5\pm3}{8}. \]
\[ x_1=\frac{5+3}{8}=1, \qquad x_2=\frac{5-3}{8}=\frac14. \]
Ответ: \(\boxed{x=1;\ \frac14}\).
Важно: в первых двух примерах дискриминант вычислялся для уравнения относительно \(t=x^2\), а не непосредственно для исходного уравнения четвёртой степени.
