Реши задание на изображении

Краткий ответ:

Для плоскости \(Ax+By+Cz+D=0\) вектор нормали имеет координаты
\[ \vec n=(A;B;C). \]

1. \[ 2x-3y+6z-5=0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\vec n_1=(2;-3;6)} \]

2. \[ x+2y-z+4=0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\vec n_2=(1;2;-1)} \]

3. \[ 3x-y+4z=0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{\vec n_3=(3;-1;4)} \]

Почему так

В общем уравнении плоскости \[ Ax+By+Cz+D=0 \] коэффициенты при \(x,y,z\) задают направление, перпендикулярное плоскости. Поэтому \[ \vec n=(A;B;C). \]

Свободный член \(D\) на нормаль не влияет.

Проверка: если направляющий вектор \(\vec d=(u;v;w)\) лежит в соответствующей плоскости, то:

• для 1-го пункта: \(2u-3v+6w=0\), значит \(\vec n_1\cdot\vec d=0\);
• для 2-го пункта: \(u+2v-w=0\), значит \(\vec n_2\cdot\vec d=0\);
• для 3-го пункта: \(3u-v+4w=0\), значит \(\vec n_3\cdot\vec d=0\).

Следовательно, найденные векторы действительно перпендикулярны плоскостям. Любой ненулевой множитель этих векторов также даст нормаль.