По геометрии: сделать номера 7 и 8

Краткий ответ:

7. \(\triangle ABC\) — равнобедренный, так как \(AB=BC\).

8. \(\boxed{AC=8}\).

№ 7

На рисунке точки расположены в порядке \(A-D-E-C\).

Пусть \(M\) — середина отрезка \(AC\). Так как

\[ AD=EC, \]

то точки \(D\) и \(E\) симметричны относительно \(M\), поэтому \(M\) — середина \(DE\).

По условию:

\[ BD=BE. \]

Значит, точки \(B\) и \(M\) равноудалены от \(D\) и \(E\). Следовательно, прямая \(BM\) является серединным перпендикуляром к \(DE\).

Так как \(DE\) лежит на прямой \(AC\), а \(M\) — середина \(AC\), то \(BM\) — серединный перпендикуляр к \(AC\). Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, поэтому

\[ AB=BC. \]

Следовательно, \(\triangle ABC\) равнобедренный.

№ 8

Так как прямая \(AD\) перпендикулярна медиане \(BM\) и делит её пополам, то \(AD\) — серединный перпендикуляр к \(BM\).

Точка \(A\) лежит на серединном перпендикуляре, значит,

\[ AB=AM. \]

По условию \(AB=4\), следовательно,

\[ AM=4. \]

Медиана \(BM\) проходит к стороне \(AC\), поэтому \(M\) — середина \(AC\):

\[ AC=2AM=2\cdot4=\boxed{8}. \]

Проверка: \(AC\) состоит из двух равных отрезков \(AM\) и \(MC\), каждый по \(4\), значит \(AC=4+4=8\).