Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle \int x^5\,dx=\frac{x^6}{6}+C\)

2. \(\displaystyle \int\left(\frac1x+8x^3\right)dx=\ln|x|+2x^4+C\)

3. \(\displaystyle \int\frac{dx}{x^6}=-\frac1{5x^5}+C\)

4. \(\displaystyle \int\frac{dx}{9x-7}=\frac19\ln|9x-7|+C\)

Здесь \(C\) — произвольная постоянная.

Основные правила

Для степени: \[ \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\ne-1. \]

Для обратной функции: \[ \int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C. \]

Линейность интеграла позволяет интегрировать сумму по отдельности.

Решение

1. Увеличиваем показатель степени на \(1\) и делим на новый показатель: \[ \int x^5dx=\frac{x^{5+1}}{5+1}+C =\frac{x^6}{6}+C. \]

2. Интегрируем каждое слагаемое: \[ \int\left(\frac1x+8x^3\right)dx =\int\frac{dx}{x}+8\int x^3dx. \] \[ =\ln|x|+8\cdot\frac{x^4}{4}+C =\ln|x|+2x^4+C. \]

3. Представим дробь как степень: \[ \int\frac{dx}{x^6}=\int x^{-6}dx =\frac{x^{-5}}{-5}+C =-\frac1{5x^5}+C. \]

4. Используем правило: \[ \int\frac{dx}{ax+b}=\frac1a\ln|ax+b|+C. \] При \(a=9,\ b=-7\): \[ \int\frac{dx}{9x-7} =\frac19\ln|9x-7|+C. \]

Проверка

\[ \left(\frac{x^6}{6}\right)'=x^5, \quad (\ln|x|+2x^4)'=\frac1x+8x^3, \] \[ \left(-\frac1{5x^5}\right)'=\frac1{x^6}, \quad \left(\frac19\ln|9x-7|\right)'=\frac1{9x-7}. \]