Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\boxed{ab}\)
2. \(\boxed{3x}\)
3. \(\boxed{\dfrac{3x}{y}}\)
4. \(\boxed{\dfrac{2b}{a}}\)

Основное правило

\[ \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}=\sqrt[n]{\frac AB}. \]

Также:

• для нечётного корня: \(\sqrt[n]{t^n}=t\);
• для чётного корня: \(\sqrt[n]{t^n}=|t|\).

Решение

1)

\[ \sqrt[5]{a^6b^7}:\sqrt[5]{ab^2} =\sqrt[5]{\frac{a^6b^7}{ab^2}} =\sqrt[5]{a^5b^5} =\sqrt[5]{(ab)^5} =ab. \]

2)

\[ \sqrt[3]{81x^4y}:\sqrt[3]{3xy} =\sqrt[3]{\frac{81x^4y}{3xy}} =\sqrt[3]{27x^3} =\sqrt[3]{(3x)^3} =3x. \]

3)

\[ \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}}: \sqrt[3]{\frac{y}{9x^2}} = \sqrt[3]{\frac{3x}{y^2}\cdot\frac{9x^2}{y}} = \sqrt[3]{\frac{27x^3}{y^3}} = \sqrt[3]{\left(\frac{3x}{y}\right)^3} = \frac{3x}{y}. \]

4)

\[ \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}}: \sqrt[4]{\frac{a}{8b^3}} = \sqrt[4]{\frac{2b}{a^3}\cdot\frac{8b^3}{a}} = \sqrt[4]{\frac{16b^4}{a^4}} = \sqrt[4]{\left(\frac{2b}{a}\right)^4}. \]

Для четвёртого корня появляется модуль:

\[ \sqrt[4]{\left(\frac{2b}{a}\right)^4} =\left|\frac{2b}{a}\right|. \]

Но исходные корни существуют в действительных числах при \(a\) и \(b\) одного знака, поэтому \(\dfrac ba>0\). Значит,

\[ \left|\frac{2b}{a}\right|=\frac{2b}{a}. \]

Проверка: \((3x)^3=27x^3\), \(\left(\dfrac{3x}{y}\right)^3=\dfrac{27x^3}{y^3}\), а \(\left(\dfrac{2b}{a}\right)^4=\dfrac{16b^4}{a^4}\).