Реши задание на изображении
Определение правил для степеней и радикалов
Мне нужно определить правила работы со степенями и радикалами, такие как \(\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}\) и \(a^{-r}=1/a^r\). Затем я тщательно решу задачу, уделив особое внимание вложенным радикалам, таким как \(\sqrt{\sqrt[3]{729}}\). В ответе я хочу убедиться, что подробно изложу всё. Я обобщу результаты для разделов, записав ответы для 42 и 43 вместе с соответствующими ответами и шагами.
Краткий ответ:
42:
- \(7\); 2) \(\dfrac13\); 3) \(2\); 4) \(\dfrac14\).
43:
- \(3\); 2) \(2\); 3) \(3\); 4) \(5\).
Правило
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn},\qquad (a^p)^q=a^{pq},\qquad a^{-p}=\frac1{a^p}. \]
Задание 42
\[ \left(\sqrt[6]{7^3}\right)^2 =\left(7^{\frac36}\right)^2 =7^{\frac36\cdot2}=7. \]
\[ \left(\sqrt[6]{9}\right)^{-3} =\left(9^{\frac16}\right)^{-3} =9^{-\frac12} =\frac1{\sqrt9} =\frac13. \]
\[ \left(\sqrt[10]{32}\right)^2 =32^{\frac{2}{10}} =32^{\frac15} =(2^5)^{\frac15} =2. \]
\[ \left(\sqrt[8]{16}\right)^{-4} =16^{-\frac48} =16^{-\frac12} =\frac1{\sqrt{16}} =\frac14. \]
Задание 43
- \[ \sqrt{\sqrt[3]{729}} =729^{\frac12\cdot\frac13} =729^{\frac16}. \] Так как \(729=3^6\), то
\[ (3^6)^{\frac16}=3. \]
- \[ \sqrt[5]{\sqrt{1024}} =1024^{\frac12\cdot\frac15} =1024^{\frac1{10}}. \] Так как \(1024=2^{10}\), то
\[ (2^{10})^{\frac1{10}}=2. \]
\[ \sqrt[3]{\sqrt[3]{9}}\cdot\sqrt[9]{3^7} =(3^2)^{\frac19}\cdot 3^{\frac79} =3^{\frac29+\frac79} =3. \]
\[ \sqrt[4]{\sqrt[3]{25}}\cdot\sqrt[6]{5^5} =(5^2)^{\frac1{12}}\cdot5^{\frac56} =5^{\frac16}\cdot5^{\frac56} =5. \]
Проверка: во всех примерах степени одного и того же основания складываются или перемножаются, поэтому получаются указанные целые числа или обратные дроби.
