Домашнее задание Биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD пересекают его диагональ BD в точках Е и F. Докажите, что четырёхугольник AECF - параллелограмм

Краткий ответ: \(AECF\) — параллелограмм.

Доказательство:

1. Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\).
2. В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому \(O\) — середина \(AC\).
3. Рассмотрим поворот на \(180^\circ\) вокруг точки \(O\). При нём:
   • \(A\) переходит в \(C\);
   • \(B\) переходит в \(D\);
   • диагональ \(BD\) переходит в себя.
4. Биссектриса угла \(A\) при этом переходит в биссектрису угла \(C\). Поэтому точка \(E\) переходит в точку \(F\).
5. Значит, \(O\) — середина отрезка \(EF\).

Итак, диагонали четырёхугольника \(AECF\), то есть \(AC\) и \(EF\), делятся точкой \(O\) пополам. По признаку параллелограмма:

\[ \boxed{AECF\text{ — параллелограмм}.} \]

Проверка: у доказанного параллелограмма автоматически выполняется \(AE\parallel CF\) и \(EC\parallel AF\).