Реши задание на изображении
Краткие ответы:
\[ \int\left(2x^3-3x^2+4x+\frac{2}{x^2}+2\cos x\right)\,dx = \frac{x^4}{2}-x^3+2x^2-\frac{2}{x}+2\sin x+C. \]
\[ 9 \]
\[ S=\frac{14}{3} \]
\[ S=4 \]
\[ S=\frac{32}{3} \]
Решение
1. Неопределённый интеграл
Интегрируем каждое слагаемое отдельно:
\[ \int 2x^3dx=\frac{x^4}{2}, \qquad \int(-3x^2)dx=-x^3, \]
\[ \int4x\,dx=2x^2, \qquad \int\frac{2}{x^2}dx = \int 2x^{-2}dx=-\frac{2}{x}, \]
\[ \int2\cos x\,dx=2\sin x. \]
Следовательно,
\[ \boxed{F(x)=\frac{x^4}{2}-x^3+2x^2-\frac{2}{x}+2\sin x+C}. \]
Проверка: производная этой функции равна исходному подынтегральному выражению.
2. Определённый интеграл
\[ \int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx. \]
Первообразная:
\[ F(x)=x^3-x^2+x. \]
Тогда
\[ \int_{-1}^{2}(3x^2-2x+1)\,dx = \left.(x^3-x^2+x)\right|_{-1}^{2}. \]
\[ F(2)=8-4+2=6, \]
\[ F(-1)=-1-1-1=-3. \]
\[ S=6-(-3)=\boxed{9}. \]
3. Площадь под графиком
\[ y=x^2-2x+3. \]
На отрезке \([0;2]\):
\[ x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0, \]
поэтому площадь находится обычным интегралом:
\[ S=\int_0^2(x^2-2x+3)\,dx. \]
\[ S=\left(\frac{x^3}{3}-x^2+3x\right)_0^2. \]
\[ S=\frac{8}{3}-4+6 =\frac{8}{3}+2 =\boxed{\frac{14}{3}}. \]
4. Площадь между графиком, осью \(Ox\) и прямыми \(x=-1,\ x=3\)
\[ y=x(x-2)=x^2-2x. \]
Нули функции:
\[ x(x-2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0,\ x=2. \]
На отрезке \([-1;0]\) и \([2;3]\) график выше оси \(Ox\), а на \([0;2]\) — ниже. Поэтому площадь разбиваем:
\[ S=\int_{-1}^{0}(x^2-2x)\,dx -\int_{0}^{2}(x^2-2x)\,dx +\int_{2}^{3}(x^2-2x)\,dx. \]
Первообразная:
\[ F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2. \]
Получаем:
\[ S=\frac43+\frac43+\frac43=\boxed{4}. \]
5. Площадь между графиками
\[ y=2x+3,\qquad y=x^2. \]
Найдём точки пересечения:
\[ x^2=2x+3, \]
\[ x^2-2x-3=0, \]
\[ (x-3)(x+1)=0. \]
\[ x=-1,\qquad x=3. \]
На отрезке \([-1;3]\) прямая расположена выше параболы, поэтому
\[ S=\int_{-1}^{3}\bigl((2x+3)-x^2\bigr)\,dx. \]
\[ S=\left(x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right)_{-1}^{3}. \]
\[ F(3)=9+9-9=9, \]
\[ F(-1)=1-3+\frac13=-\frac53. \]
\[ S=9-\left(-\frac53\right) =\boxed{\frac{32}{3}}. \]
