Реши задание на изображении

Пришли изображение ещё раз, пожалуйста: сейчас его содержимое не отображается. Я решу задания №61–63.

Это продолжение задания на изображении. Используем правила:

\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad a^m:a^n=a^{m-n},\qquad \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}. \]

61. Найдите значение выражения

1. При \(a=0{,}09\):

\[ \sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[6]{a} =a^{\frac13+\frac16} =a^{\frac12} =\sqrt{0{,}09}=0{,}3. \]

Ответ: \(0{,}3\).

2. При \(b=27\):

\[ \sqrt b:\sqrt[6]{b} =b^{\frac12-\frac16} =b^{\frac13} =\sqrt[3]{27}=3. \]

Ответ: \(3\).

3. При \(b=1{,}3\):

\[ \frac{\sqrt b\cdot\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[6]{b}} =b^{\frac12+\frac23-\frac16} =b^1=1{,}3. \]

Ответ: \(1{,}3\).

4. При \(a=2{,}7\):

\[ \sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[12]{a^5} =a^{\frac13+\frac14+\frac5{12}} =a^1=2{,}7. \]

Ответ: \(2{,}7\).

62. Представьте в виде степени с рациональным показателем

\[ a^{\frac13}\cdot\sqrt a =a^{\frac13+\frac12} =\boxed{a^{\frac56}}. \]

\[ b^{\frac12}\cdot b^{\frac13}\cdot\sqrt[6]{b} =b^{\frac12+\frac13+\frac16} =\boxed b. \]

\[ \sqrt[3]{b}:b^{\frac16} =b^{\frac13-\frac16} =\boxed{b^{\frac16}}. \]

\[ a^{\frac43}:\sqrt[3]{a} =a^{\frac43-\frac13} =\boxed a. \]

\[ x^{1{,}7}\cdot x^{2{,}8}:\sqrt{x^5} =x^{1{,}7+2{,}8-\frac52} =x^{4{,}5-2{,}5} =\boxed{x^2}. \]

\[ y^{-3{,}8}\cdot y^{-2{,}3}\cdot\sqrt[3]{y} =y^{-3{,}8-2{,}3+\frac13} =y^{-\frac{173}{30}}. \]

Ответ: \(\boxed{y^{-\frac{173}{30}}}\).

63. Вынесите общий множитель за скобки

\[ x^{\frac12}+x =\boxed{x^{\frac12}\left(1+x^{\frac12}\right)}. \]

\[ (ab)^{\frac13}+(ac)^{\frac13} =\boxed{a^{\frac13}\left(b^{\frac13}+c^{\frac13}\right)}. \]

\[ y^{\frac34}-y^{\frac13} =y^{\frac13}\left(y^{\frac34-\frac13}-1\right) =\boxed{y^{\frac13}\left(y^{\frac5{12}}-1\right)}. \]

\[ 12xy^{\frac12}-3x^{\frac12}y =\boxed{3x^{\frac12}y^{\frac12} \left(4x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)}. \]

Разберём два последних примера №63 — 3 и 4.

3. \(y^{\frac34}-y^{\frac13}\)

Ищем общий множитель. У степеней \(y\) показатели:

\[ \frac34 \quad \text{и} \quad \frac13. \]

Меньший показатель — \(\frac13\), поэтому выносим \(y^{\frac13}\):

\[ y^{\frac34}-y^{\frac13} = y^{\frac13}\left(y^{\frac34-\frac13}-1\right). \]

Вычислим разность показателей:

\[ \frac34-\frac13 = \frac9{12}-\frac4{12} = \frac5{12}. \]

Значит,

\[ \boxed{y^{\frac34}-y^{\frac13} = y^{\frac13}\left(y^{\frac5{12}}-1\right)}. \]

Проверка

Раскроем скобки:

\[ y^{\frac13}\cdot y^{\frac5{12}} - y^{\frac13} = y^{\frac13+\frac5{12}}-y^{\frac13}. \]

\[ \frac13+\frac5{12} = \frac4{12}+\frac5{12} = \frac9{12} = \frac34. \]

Получаем исходное выражение:

\[ y^{\frac34}-y^{\frac13}. \]

4. \(12xy^{\frac12}-3x^{\frac12}y\)

Сначала найдём общий числовой множитель:

\[ \text{НОД}(12,3)=3. \]

Теперь посмотрим на степени переменных:

• у \(x\): \(x^1\) и \(x^{\frac12}\), выносим \(x^{\frac12}\);
• у \(y\): \(y^{\frac12}\) и \(y^1\), выносим \(y^{\frac12}\).

Общий множитель:

\[ 3x^{\frac12}y^{\frac12}. \]

Делим каждый член на него:

\[ \frac{12xy^{\frac12}}{3x^{\frac12}y^{\frac12}} = 4x^{1-\frac12} = 4x^{\frac12}, \]

\[ \frac{3x^{\frac12}y}{3x^{\frac12}y^{\frac12}} = y^{1-\frac12} = y^{\frac12}. \]

Поэтому

\[ \boxed{ 12xy^{\frac12}-3x^{\frac12}y = 3x^{\frac12}y^{\frac12} \left(4x^{\frac12}-y^{\frac12}\right) }. \]

Проверка

Раскроем скобки:

\[ 3x^{\frac12}y^{\frac12}\cdot4x^{\frac12} - 3x^{\frac12}y^{\frac12}\cdot y^{\frac12}. \]

\[ =12x^{\frac12+\frac12}y^{\frac12} - 3x^{\frac12}y^{\frac12+\frac12} \]

\[ =12xy^{\frac12}-3x^{\frac12}y. \]

Всё верно.