Реши задание 42.43

Краткий ответ

42. Формула числа, кратного 7:
\[ N=7k,\quad k\in\mathbb N. \] Например: \[ 7\cdot15=105,\qquad 7\cdot16=112. \] Числа \(105\) и \(112\) — трёхзначные и кратны 7.

43. Для любого простого числа \(p\ge 5\) одно из чисел \(p-1\) или \(p+1\) делится на 6.

Решение и объяснение

Задание 42

Чтобы получить число, кратное 7, нужно 7 умножить на любое натуральное число: \[ N=7k. \]

Для получения трёхзначных чисел возьмём, например:

\[ k=15:\quad N=7\cdot15=105; \]

\[ k=16:\quad N=7\cdot16=112. \]

Проверка: \[ 105:7=15,\qquad 112:7=16. \]

Задание 43

Пусть \(p\) — простое число, \(p\ge5\).

1. Число \(p\) нечётное, поэтому \(p-1\) и \(p+1\) — чётные.
2. Простое число \(p\ge5\) не делится на 3.
3. Среди трёх последовательных чисел \(p-1,\ p,\ p+1\) одно обязательно делится на 3. Так как \(p\) на 3 не делится, на 3 делится одно из чисел \(p-1\) или \(p+1\).
4. Это число делится и на 2, и на 3, значит, оно делится на 6.

Следовательно, одно из чисел \(p-1\) или \(p+1\) кратно 6.

Проверка на примерах:

• третий десяток:
  \[ 23+1=24=6\cdot4,\qquad 29+1=30=6\cdot5; \]

• седьмой десяток:
  \[ 61-1=60=6\cdot10,\qquad 67-1=66=6\cdot11. \]

Утверждение доказано.