Реши примеры
Разбор математического выражения
Я работаю над распознаванием и интерпретацией математического выражения, которое выглядит как «-0.3a^n b^7 · 5a^{-8}b^{-6}». Думаю, показатель степени после второго слагаемого может быть -8. Мне нужно увеличить изображение, чтобы подтвердить это. Представленная строка указывает, что первый показатель степени у «a» может быть «n», то есть это переменная, а не показатель степени. Я внимательно разберу эти детали, чтобы убедиться в точности!
Проверка возможных проблем на изображении
Я вижу выражение \( (3 \cdot 10^4) \cdot (3.6 \cdot 10^{-6}) \), в котором может быть потенциальная ошибка, а также дробь \( \frac{5}{9} \). Кроме того, есть квадратное уравнение \( 5x^2 - 4x - 1 = 0 \), в обозначениях которого, по-видимому, имеются расхождения: буквы могут быть неверно распознаны из-за качества шрифта. Кажется, правильное обозначение должно быть «д)», но на изображении низкого разрешения оно выглядит как «м)». Я должен уточнить это в результатах.
Уточнение прочтения изображения
Думаю, важно добавить сноску о том, что показатель над первой \(a\) можно интерпретировать как \(n\). Такой подход предусмотрителен и учитывает возможную неопределённость. Если надпись неразборчива, следует задать короткий уточняющий вопрос. Однако она выглядит читаемой, поэтому, возможно, достаточно указать моё предположение без дополнительного вопроса. Если я уверен, что там стоит \(n\), дополнительно уточнять не потребуется. Я также рассмотрю возможность добавить примечание после результата, чтобы прояснить неоднозначности.
Рассмотрение области действия корня
Мне нужно быть внимательным, чтобы не упустить скрытые детали. Я размышляю о возможной проблеме с тем, как обозначена область действия корня во второй строке: \( \sqrt{0.64 \cdot 49} \). Должно ли это быть \( \sqrt{0.64} \cdot 49 \)? Кажется, черта корня может охватывать не только \(0.64 \cdot 49\). Я ясно вижу, что в выражении под №1 отдельно указаны \( \sqrt{0.64} \) и другие последующие элементы. Давайте уточним это!
Краткие ответы
№ 1:
- \(7\); 2) \(5{,}6\); 3) \(72\); 4) \(18\).
№ 2:
- \(\dfrac{x}{3y^2}\); 2) \(10a^2b\); 3) \(-1{,}5a^{n-8}b\).
№ 3:
2) \(0{,}108\); 4) \(5000\).
№ 4:
а) \(x=\pm3\); б) \(x=0,4\); в) \(x=1,-\dfrac15\); г) \(x=3\); д) \(x=0\).
№ 5:
4) \(\dfrac{a+b}{2a}\); 5) \(\dfrac4{ab}\); 6) \(\dfrac{c+6}{4c}\).
Решение
№ 1. Найдите значение выражения
\[ 0{,}3\sqrt{900}-\frac14\sqrt{64} =0{,}3\cdot30-\frac14\cdot8 =9-2=7. \]
\[ \sqrt{0{,}64\cdot49} =\sqrt{0{,}64}\cdot\sqrt{49} =0{,}8\cdot7=5{,}6. \]
\[ \sqrt{3^4\cdot2^6} =\sqrt{(3^2)^2(2^3)^2} =3^2\cdot2^3 =9\cdot8=72. \]
\[ \sqrt{40}\cdot\sqrt{10}-\frac{\sqrt{20}}{\sqrt5} =\sqrt{400}-\sqrt4 =20-2=18. \]
№ 2. Упростите выражение
Используем правило: \[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
\[ \frac35x^{-3}y^5\cdot\frac59x^4y^{-7} =\frac13x^{-3+4}y^{5-7} =\frac13xy^{-2} =\frac{x}{3y^2}. \]
\[ 0{,}2a^{12}b^{-9}\cdot50a^{-10}b^{10} =10a^{12-10}b^{-9+10} =10a^2b. \]
Показатель над первой \(a\) читается как \(n\): \[ -0{,}3a^nb^7\cdot5a^{-8}b^{-6} =-1{,}5a^{n-8}b^{1} =-1{,}5a^{n-8}b. \]
№ 3. Вычислите
\[ (3\cdot10^4)(3{,}6\cdot10^{-6}) =10{,}8\cdot10^{-2} =0{,}108. \]
\[ \frac{1{,}4\cdot10^9}{2{,}8\cdot10^5} =\frac{1{,}4}{2{,}8}\cdot10^{9-5} =0{,}5\cdot10^4=5000. \]
№ 4. Решите уравнения
а)
\[
2x^2-18=0
\]
\[
2(x^2-9)=0,\qquad (x-3)(x+3)=0.
\]
\[
x=3\quad\text{или}\quad x=-3.
\]
б)
\[
3x^2-12x=0
\]
\[
3x(x-4)=0.
\]
\[
x=0\quad\text{или}\quad x=4.
\]
в)
\[
5x^2-4x-1=0
\]
\[
(5x+1)(x-1)=0.
\]
\[
x=-\frac15\quad\text{или}\quad x=1.
\]
г)
\[
x^2-6x+9=0
\]
\[
(x-3)^2=0,
\]
\[
x=3.
\]
д)
\[
3{,}6x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=0,
\]
\[
x=0.
\]
Проверка: разложения
\[
3x(x-4),\quad (5x+1)(x-1),\quad (x-3)^2
\]
точно дают исходные уравнения.
№ 5. Упростите выражение
\[ \frac{a^2+b^2}{2a^2+2ab}+\frac{b}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{2a(a+b)} +\frac{2ab}{2a(a+b)} \] \[ =\frac{a^2+2ab+b^2}{2a(a+b)} =\frac{(a+b)^2}{2a(a+b)} =\frac{a+b}{2a}. \]
\[ \frac{b+4}{ab-b^2}-\frac{a+4}{a^2-ab} = \frac{b+4}{b(a-b)}-\frac{a+4}{a(a-b)}. \] Общий знаменатель \(ab(a-b)\): \[ \frac{a(b+4)-b(a+4)}{ab(a-b)} = \frac{ab+4a-ab-4b}{ab(a-b)} \] \[ =\frac{4(a-b)}{ab(a-b)} =\frac4{ab}. \]
\[ \frac{c-4}{4c+24}+\frac{4c+9}{c^2+6c} = \frac{c-4}{4(c+6)}+\frac{4c+9}{c(c+6)}. \] \[ =\frac{c(c-4)+4(4c+9)}{4c(c+6)} \] \[ =\frac{c^2-4c+16c+36}{4c(c+6)} =\frac{(c+6)^2}{4c(c+6)} =\frac{c+6}{4c}. \]
В дробях сокращение выполняется при допустимых значениях переменных: знаменатели не должны быть равны нулю.
