реши номера 406, 407
Краткий ответ:
406. \(P=42\text{ см}\).
407. Диагонали образуют со сторонами углы
\[
22^\circ30' \quad\text{и}\quad 67^\circ30'.
\]
406
В ромбе все стороны равны. Рассмотрим треугольник \(ABC\):
\[ AB=BC,\qquad \angle B=60^\circ. \]
По теореме косинусов:
\[ AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos60^\circ. \]
Пусть \(AB=BC=a\). Тогда
\[ AC^2=a^2+a^2-2a^2\cdot\frac12=a^2, \]
значит,
\[ AC=a=10{,}5\text{ см}. \]
Периметр ромба:
\[ P=4a=4\cdot10{,}5=42\text{ см}. \]
Проверка: при угле \(60^\circ\) треугольник \(ABC\) равносторонний, поэтому \(AC=AB=BC\).
407
Диагонали ромба делят его углы пополам. Если один угол равен \(45^\circ\), то соседний угол:
\[ 180^\circ-45^\circ=135^\circ. \]
Следовательно, диагональ, проходящая через вершины с углами \(45^\circ\), образует со сторонами углы:
\[ \frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ=22^\circ30'. \]
Вторая диагональ образует со сторонами углы:
\[ \frac{135^\circ}{2}=67{,}5^\circ=67^\circ30'. \]
Обсуждение
2 сообщенияреши как в 8 классе
Решим без теоремы косинусов, используя свойства ромба.
№ 406
Пусть \(ABCD\) — ромб, \(AC=10{,}5\) см, \(\angle B=60^\circ\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\). Так как все стороны ромба равны,
\[ AB=BC. \]
Значит, треугольник \(ABC\) равнобедренный. Его углы при основании равны:
\[ \angle A=\angle C=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ. \]
Все углы треугольника равны \(60^\circ\), поэтому он равносторонний:
\[ AB=BC=AC=10{,}5\text{ см}. \]
Периметр ромба:
\[ P=4\cdot AB=4\cdot10{,}5=42\text{ см}. \]
Ответ: \(42\) см.
№ 407
Один угол ромба равен \(45^\circ\). Соседний с ним угол:
\[ 180^\circ-45^\circ=135^\circ. \]
Диагонали ромба делят его углы пополам. Поэтому одна диагональ образует со сторонами угол:
\[ \frac{45^\circ}{2}=22{,}5^\circ=22^\circ30', \]
а другая:
\[ \frac{135^\circ}{2}=67{,}5^\circ=67^\circ30'. \]
Ответ: \(22^\circ30'\) и \(67^\circ30'\).
