Реши задание на изображении
Расчёт знаков квадрантов
Мне нужно тщательно рассчитать знаки для квадрантов. Начав с Left1, я думаю использовать выражение: 40 sin(58) cos(58), делённое на sin(116). Чтобы применить тождество sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), я понимаю, что sin(116) можно переписать как 2 sin(58) cos(58). Значит, я полагаю, что отношение упрощается до 40/2, что даёт 20. Я рассмотрю, влияет ли знаменатель sin(116) на это.
Проверка тригонометрических тождеств
Я рассматриваю уравнение \(\tan x \cot x = 1\) и определяю, что оно выполняется, когда \(x\) задано в пределах определённых углов, таких как 57° и 110°. Мне нужно подтвердить это, проверив значения тригонометрических функций и знаки, чтобы убедиться, что всё работает ожидаемым образом. Пользователь попросил проверить применимость, поэтому эта проверка необходима для обеспечения точности. Посмотрим, подходят ли эти углы!
Краткие ответы
Левая колонка:
- \(20\); 2) \(-80\); 3) \(-18\); 4) \(-9\); 5) \(-23\).
Правая колонка:
- \(-6\); 2) \(-80\); 3) \(-10\); 4) \(18\); 5) \(-15\).
Решение
1. Формула двойного угла
\[ \sin 2x=2\sin x\cos x. \]
Левая колонка:
\[ \frac{40\sin58^\circ\cos58^\circ}{\sin116^\circ} = \frac{40\sin58^\circ\cos58^\circ} {2\sin58^\circ\cos58^\circ} =20. \]
Правая колонка:
\[ \frac{-12\sin54^\circ\cos54^\circ}{\sin108^\circ} = \frac{-12\sin54^\circ\cos54^\circ} {2\sin54^\circ\cos54^\circ} =-6. \]
2. Основное тригонометрическое тождество
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
В III четверти синус и косинус отрицательны.
Левая колонка:
\[ \cos^2\alpha =1-\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2 =1-\frac9{10} =\frac1{10}. \]
Так как \(\alpha\) в III четверти,
\[ \cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}. \]
Тогда
\[ 80\sqrt{10}\cos\alpha =80\sqrt{10}\cdot\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) =-80. \]
Правая колонка:
\[ \sin^2\alpha =1-\left(-\frac{\sqrt5}{5}\right)^2 =1-\frac15 =\frac45. \]
В III четверти \(\sin\alpha<0\), поэтому
\[ \sin\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5}. \]
Тогда
\[ 40\sqrt5\sin\alpha =40\sqrt5\cdot\left(-\frac{2\sqrt5}{5}\right) =-80. \]
3. Нахождение тангенса и котангенса
Левая колонка
Во II четверти косинус отрицателен:
\[ \cos\alpha =-\sqrt{1-\frac45} =-\frac{\sqrt5}{5}. \]
\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}} =-2. \]
\[ 9\tg\alpha=9\cdot(-2)=-18. \]
Правая колонка
В IV четверти синус отрицателен:
\[ \sin\alpha =-\sqrt{1-\frac45} =-\frac{\sqrt5}{5}. \]
\[ \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}} =-2. \]
\[ 5\ctg\alpha=5\cdot(-2)=-10. \]
4. Приведение углов
Левая колонка:
\[ \cos660^\circ=\cos300^\circ=\frac12, \]
\[ \tg(-390^\circ)=\tg(-30^\circ)=-\frac{\sqrt3}{3}. \]
Так как \(\sqrt{12}=2\sqrt3\),
\[ 9\sqrt{12}\cos660^\circ\tg(-390^\circ) = 9\cdot2\sqrt3\cdot\frac12\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{3}\right) =-9. \]
Правая колонка:
\[ \cos(-300^\circ)=\cos300^\circ=\frac12, \]
\[ \cos510^\circ=\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}. \]
\[ -12\sqrt{12}\cos(-300^\circ)\cos510^\circ = -12\cdot2\sqrt3\cdot\frac12\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right) =18. \]
5. Взаимно обратные функции
\[ \tg x\cdot\ctg x=1. \]
Левая колонка:
\[ -23\tg110^\circ\cdot\ctg110^\circ =-23\cdot1=-23. \]
Правая колонка:
\[ -15\tg57^\circ\cdot\ctg57^\circ =-15\cdot1=-15. \]
Знаки также совпадают с четвертями: во II четверти тангенс отрицателен, в IV четверти котангенс отрицателен.
Обсуждение
4 сообщенияРеши сейчас всю левую колонку ещё раз простыми словами
Ответы левой колонки:
\[ \boxed{20;\ -80;\ -18;\ -9;\ -23} \]
1)
\[ \frac{40\sin58^\circ\cos58^\circ}{\sin116^\circ} \]
Замечаем:
\[ 116^\circ=2\cdot58^\circ, \]
а
\[ \sin2a=2\sin a\cos a. \]
Значит,
\[ \sin116^\circ=2\sin58^\circ\cos58^\circ. \]
Подставляем:
\[ \frac{40\sin58^\circ\cos58^\circ} {2\sin58^\circ\cos58^\circ} =\frac{40}{2}=\boxed{20}. \]
2)
Дано:
\[ \sin\alpha=-\frac{3\sqrt{10}}{10}, \]
угол находится в III четверти. Используем:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
Сначала найдём косинус:
\[ \cos^2\alpha =1-\left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right)^2 =1-\frac9{10} =\frac1{10}. \]
В III четверти косинус отрицательный:
\[ \cos\alpha=-\frac{\sqrt{10}}{10}. \]
Теперь:
\[ 80\sqrt{10}\cos\alpha =80\sqrt{10}\cdot\left(-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) =\boxed{-80}. \]
3)
Дано:
\[ \sin\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}, \]
угол находится во II четверти. Найдём косинус:
\[ \cos^2\alpha =1-\left(\frac{2\sqrt5}{5}\right)^2 =1-\frac45 =\frac15. \]
Во II четверти косинус отрицательный:
\[ \cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}. \]
Тогда тангенс:
\[ \tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}} =-2. \]
Следовательно,
\[ 9\tg\alpha=9\cdot(-2)=\boxed{-18}. \]
4)
\[ 9\sqrt{12}\cos660^\circ\tg(-390^\circ). \]
Упростим углы:
\[ \cos660^\circ=\cos300^\circ=\frac12, \]
\[ \tg(-390^\circ)=\tg(-30^\circ)=-\frac{\sqrt3}{3}, \]
\[ \sqrt{12}=2\sqrt3. \]
Подставляем:
\[ 9\cdot2\sqrt3\cdot\frac12\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{3}\right). \]
Сначала:
\[ 2\sqrt3\cdot\frac12=\sqrt3. \]
Тогда:
\[ 9\cdot\sqrt3\cdot\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right) =-9. \]
Ответ:
\[ \boxed{-9}. \]
5)
\[ -23\tg110^\circ\ctg110^\circ. \]
Тангенс и котангенс одного и того же угла — взаимно обратные числа:
\[ \tg x\cdot\ctg x=1. \]
Поэтому:
\[ -23\cdot1=\boxed{-23}. \]
Теперь разбери также только правый столбик
Ответы правого столбика:
\[ \boxed{-6;\ -80;\ -10;\ 18;\ -15} \]
1)
\[ \frac{-12\sin54^\circ\cos54^\circ}{\sin108^\circ} \]
Так как
\[ 108^\circ=2\cdot54^\circ, \]
то по формуле
\[ \sin2a=2\sin a\cos a \]
получаем:
\[ \sin108^\circ=2\sin54^\circ\cos54^\circ. \]
Подставляем:
\[ \frac{-12\sin54^\circ\cos54^\circ} {2\sin54^\circ\cos54^\circ} =\frac{-12}{2} =\boxed{-6}. \]
2)
Дано:
\[ \cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}, \]
угол находится в III четверти. Используем формулу:
\[ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1. \]
Найдём синус:
\[ \sin^2\alpha =1-\left(-\frac{\sqrt5}{5}\right)^2 =1-\frac15 =\frac45. \]
В III четверти синус отрицательный, поэтому:
\[ \sin\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5}. \]
Теперь вычисляем:
\[ 40\sqrt5\sin\alpha = 40\sqrt5\cdot\left(-\frac{2\sqrt5}{5}\right). \]
Так как \(\sqrt5\cdot\sqrt5=5\), получаем:
\[ 40\cdot\left(-\frac{2\cdot5}{5}\right) =\boxed{-80}. \]
3)
Дано:
\[ \cos\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}, \]
угол находится в IV четверти. Найдём синус:
\[ \sin^2\alpha =1-\left(\frac{2\sqrt5}{5}\right)^2 =1-\frac45 =\frac15. \]
В IV четверти синус отрицательный:
\[ \sin\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}. \]
Котангенс находим по формуле:
\[ \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]
Подставляем:
\[ \ctg\alpha= \frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}} =-2. \]
Значит,
\[ 5\ctg\alpha=5\cdot(-2)=\boxed{-10}. \]
4)
\[ -12\sqrt{12}\cos(-300^\circ)\cos510^\circ. \]
Упростим:
\[ \sqrt{12}=2\sqrt3, \]
\[ \cos(-300^\circ)=\cos300^\circ=\frac12, \]
\[ \cos510^\circ=\cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}. \]
Подставляем:
\[ -12\cdot2\sqrt3\cdot\frac12\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right). \]
Два минуса дают плюс:
\[ 12\cdot2\sqrt3\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}. \]
Сокращаем:
\[ 12\cdot\frac{3}{2}=\boxed{18}. \]
5)
\[ -15\tg57^\circ\ctg57^\circ. \]
Тангенс и котангенс одного угла — взаимно обратные числа:
\[ \tg x\cdot\ctg x=1. \]
Поэтому:
\[ -15\cdot1=\boxed{-15}. \]
