Реши 42 и 43

42

Краткий ответ: формула числа, кратного 7:

\[ 7n,\qquad n\in\mathbb N. \]

Возьмём \(n=15\) и \(n=16\):

\[ 7\cdot 15=105,\qquad 7\cdot 16=112. \]

Ответ: \(105\) и \(112\).

Чтобы получить любое трёхзначное число, кратное 7, нужно выбирать \(n\) так, чтобы

\[ 100\le 7n\le 999. \]

Проверка:

\[ 105:7=15,\qquad 112:7=16. \]

43

Краткий ответ: для любого простого числа \(p\ge5\) одно из чисел \(p-1\) или \(p+1\) делится на 6.

Важно: имеется в виду либо увеличенное, либо уменьшенное на 1 число.

Проверка на примерах

\[ 23+1=24=6\cdot4; \]

\[ 29+1=30=6\cdot5; \]

\[ 61-1=60=6\cdot10; \]

\[ 67-1=66=6\cdot11. \]

Доказательство

Пусть \(p\) — простое число, \(p\ge5\).

1. Простое число \(p>2\) нечётное. Поэтому \(p-1\) и \(p+1\) — чётные числа.
2. Число \(p>3\) не делится на 3. В трёх последовательных числах \[ p-1,\quad p,\quad p+1 \] одно обязательно делится на 3. Значит, на 3 делится либо \(p-1\), либо \(p+1\).
3. Это число одновременно делится на 2 и на 3, следовательно, делится на \[ 2\cdot3=6. \]

Значит, одно из чисел \(p-1\) или \(p+1\) обязательно делится на 6. ■