Реши задание на изображении

На изображениях видны два задания, поэтому решу оба.

Краткий ответ:

• Задание 9: \(\boxed{4}\)
• Задание 10: \(\boxed{16}\)

Задание 9

Пусть ребро куба равно \(a=2\sqrt2\). Введём координаты:

\[ A(0,0,0),\quad C(a,a,0),\quad A_1(0,0,a). \]

Так как

\[ A_1M:MA=1:2, \]

то

\[ AM=\frac{2a}{3}, \]

поэтому

\[ M\left(0,0,\frac{2a}{3}\right). \]

Точка пересечения \(P\) прямой \(CM\) с плоскостью верхней грани имеет координату \(z=a\).

Параметрически:

\[ P=C+t(M-C). \]

По координате \(z\):

\[ \frac{2a}{3}t=a \quad\Rightarrow\quad t=\frac32. \]

Тогда

\[ P\left(-\frac a2,-\frac a2,a\right). \]

Центр грани \(A_1B_1C_1D_1\):

\[ O\left(\frac a2,\frac a2,a\right). \]

Следовательно,

\[ OP=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2. \]

Подставим \(a=2\sqrt2\):

\[ OP=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4. \]

Задание 10

Ребро куба:

\[ a=8\sqrt2. \]

Поскольку

\[ AM=CN=2\sqrt2=\frac a4, \]

имеем:

\[ M\left(0,0,\frac a4\right),\qquad N\left(a,a,\frac a4\right). \]

Середина отрезка \(MN\):

\[ K\left(\frac a2,\frac a2,\frac a4\right). \]

Вершина \(B=(a,0,0)\). Прямая \(BK\) задаётся:

\[ E=B+t(K-B). \]

Её координата \(z\) равна:

\[ z=\frac{ta}{4}. \]

Точка \(E\) лежит в плоскости верхней грани, поэтому \(z=a\):

\[ \frac{ta}{4}=a \quad\Rightarrow\quad t=4. \]

Тогда

\[ E=(-a,2a,a). \]

А

\[ D_1=(0,a,a). \]

Поэтому

\[ D_1E=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2. \]

Подставляем \(a=8\sqrt2\):

\[ D_1E=8\sqrt2\cdot\sqrt2=16. \]