Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(AC=3{,}5\) см или \(14{,}5\) см.
2. Остальные углы: \(56^\circ,\ 124^\circ,\ 124^\circ\).
3. Четыре угла по \(43^\circ\) и четыре угла по \(137^\circ\).
4. Два решения: \(73^\circ,\ 73^\circ\) или \(34^\circ,\ 112^\circ\).
5. \(BD=5\) см; высота и медиана из \(B\) также равны \(5\) см.
6. \(AD=15\) см.
7. \(P_{\triangle ABC}=28\) см.

Ключевые шаги

1. Точки \(A,B,C\) могут располагаться по-разному:

• если \(A\) и \(C\) находятся по разные стороны от \(B\), то
  \[ AC=AB+BC=5{,}5+9=14{,}5\text{ см}; \]
• если они находятся по одну сторону, то
  \[ AC=|BC-AB|=|9-5{,}5|=3{,}5\text{ см}. \]

2. Вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают \(180^\circ\): \[ 180^\circ-56^\circ=124^\circ. \] Получаем: \(56^\circ,\ 124^\circ,\ 56^\circ,\ 124^\circ\).

3. При пересечении параллельных прямых:

• вертикальные и соответственные углы равны \(43^\circ\);
• смежные с ними углы: \[ 180^\circ-43^\circ=137^\circ. \]

Значит, 4 угла равны \(43^\circ\), а 4 — \(137^\circ\).

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

• Если \(34^\circ\) — угол при вершине: \[ \frac{180^\circ-34^\circ}{2}=73^\circ. \] Остальные углы: \(73^\circ\) и \(73^\circ\).

• Если \(34^\circ\) — угол при основании, то второй угол при основании тоже \(34^\circ\), а угол при вершине: \[ 180^\circ-34^\circ-34^\circ=112^\circ. \]

Итак, задача имеет 2 решения.

5. Пусть \(AB=BC=x\), а \(AC=y\). Тогда: \[ 2x+y=50. \] Так как \(BD\) — биссектриса угла равнобедренного треугольника, она также является медианой: \[ AD=\frac y2. \] По периметру треугольника \(ABD\): \[ x+\frac y2+BD=30. \] Из \(2x+y=50\) следует: \[ x+\frac y2=25. \] Тогда: \[ BD=30-25=5\text{ см}. \]

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из вершины \(B\), совпадают. Поэтому высота и медиана тоже равны \(5\) см.

6. Пусть \(AC=x\). Так как \(\angle A=30^\circ\), катет \(BC\), лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \[ BC=\frac x2. \] Для высоты к гипотенузе: \[ BC^2=AC\cdot CD. \] Подставим \(CD=5\): \[ \left(\frac x2\right)^2=5x, \] \[ \frac{x^2}{4}=5x,\qquad x=20\text{ см}. \] Тогда: \[ AD=AC-CD=20-5=15\text{ см}. \]

Проверка: \(AD+CD=15+5=20=AC\).

7. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: \[ AP=AR=6{,}4,\quad BP=BG=3{,}2,\quad CG=CR=4{,}4. \] Тогда: \[ AB=6{,}4+3{,}2=9{,}6\text{ см}, \] \[ BC=3{,}2+4{,}4=7{,}6\text{ см}, \] \[ AC=6{,}4+4{,}4=10{,}8\text{ см}. \] Периметр: \[ P=9{,}6+7{,}6+10{,}8=28\text{ см}. \]