геометрия 9 класс

Краткий ответ:

\[ \boxed{AC=6\text{ м}},\qquad \boxed{AB=3(\sqrt6-\sqrt2)\text{ м}},\qquad \boxed{BC=6(\sqrt3-1)\text{ м}}. \]

Приближённо:

\[ AC=6\text{ м},\quad AB\approx3{,}11\text{ м},\quad BC\approx4{,}39\text{ м}. \]

Решение

Сначала найдём третий угол:

\[ \angle B=180^\circ-45^\circ-30^\circ=105^\circ. \]

Высота \(AD\) делит треугольник на прямоугольные треугольники. В треугольнике \(ACD\):

\[ \sin 30^\circ=\frac{AD}{AC}. \]

Так как \(AD=3\) м, то

\[ AC=\frac{3}{\sin30^\circ} =\frac{3}{1/2}=6\text{ м}. \]

Используем теорему синусов:

\[ \frac{AC}{\sin\angle B} = \frac{AB}{\sin\angle C} = \frac{BC}{\sin\angle A}. \]

Для стороны \(AB\):

\[ AB=\frac{AC\cdot\sin30^\circ}{\sin105^\circ} =\frac{6\cdot\frac12}{\sin105^\circ}. \]

Так как

\[ \sin105^\circ=\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}, \]

получаем

\[ AB=\frac{3}{\sin105^\circ} =3(\sqrt6-\sqrt2)\text{ м}. \]

Для стороны \(BC\):

\[ BC=\frac{AC\cdot\sin45^\circ}{\sin105^\circ} =\frac{6\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\sin105^\circ} =6(\sqrt3-1)\text{ м}. \]

Проверка: самая большая сторона \(AC\) лежит напротив самого большого угла \(105^\circ\), что верно.