Как решать вот не понимаю в конце как именно строить
Краткий ответ:
№233:
- \(x=2,3\);
- \(x=-3,-2,-1,0,1\);
- \(x=0,1,2,3\);
- \(x=-3,-2\).
№234:
- \(D(y)=[0;+\infty)\);
- \(D(y)=[0;+\infty)\).
Как строить в конце
Сначала решаем неравенство для всех \(x\), затем пересекаем ответ с отрезком \([-3;3]\). Так как в №233 нужны целые решения, оставляем только целые числа.
- \(x>1\): \((1;3]\), целые \(2,3\);
- \(x<2\): \([-3;2)\), целые \(-3,-2,-1,0,1\);
- \(x>-1\): \((-1;3]\), целые \(0,1,2,3\);
- \(x<-1\): \([-3;-1)\), целые \(-3,-2\).
Круглая скобка означает, что граница не входит, квадратная — входит.
№233
1) \(9^x-3^x-6>0\)
Так как \(9^x=(3^x)^2\), обозначим \(t=3^x>0\):
\[ t^2-t-6>0, \]
\[ (t-3)(t+2)>0. \]
При \(t>0\) получаем \(t>3\):
\[ 3^x>3^1 \Longrightarrow x>1. \]
На отрезке \([-3;3]\) целые решения:
\[ \boxed{x=2,3}. \]
2) \(4^x-2^x<12\)
Пусть \(t=2^x>0\). Тогда \(4^x=(2^x)^2=t^2\):
\[ t^2-t<12, \]
\[ t^2-t-12<0, \]
\[ (t-4)(t+3)<0. \]
Так как \(t>0\), получаем \(0<t<4\):
\[ 2^x<2^2 \Longrightarrow x<2. \]
Целые решения:
\[ \boxed{x=-3,-2,-1,0,1}. \]
3) \(5^{2x+1}+4\cdot5^x-1>0\)
Пусть \(t=5^x>0\). Тогда
\[ 5^{2x+1}=5(5^x)^2=5t^2. \]
Получаем:
\[ 5t^2+4t-1>0, \]
\[ (5t-1)(t+1)>0. \]
Так как \(t+1>0\), то
\[ 5t-1>0 \Longrightarrow t>\frac15=5^{-1}. \]
Значит,
\[ 5^x>5^{-1}\Longrightarrow x>-1. \]
Целые решения:
\[ \boxed{x=0,1,2,3}. \]
4) \(3\cdot9^x+11\cdot3^x<4\)
Пусть \(t=3^x>0\). Тогда \(9^x=t^2\):
\[ 3t^2+11t<4, \]
\[ 3t^2+11t-4<0, \]
\[ (3t-1)(t+4)<0. \]
Так как \(t+4>0\), получаем
\[ 3t-1<0 \Longrightarrow t<\frac13=3^{-1}. \]
Следовательно,
\[ 3^x<3^{-1}\Longrightarrow x<-1. \]
Целые решения:
\[ \boxed{x=-3,-2}. \]
№234
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
1) \(y=\sqrt{25^x-5^x}\)
\[ 25^x=(5^x)^2. \]
Пусть \(t=5^x>0\):
\[ t^2-t\ge0, \]
\[ t(t-1)\ge0. \]
Так как \(t>0\), то \(t\ge1\):
\[ 5^x\ge5^0 \Longrightarrow x\ge0. \]
\[ \boxed{D(y)=[0;+\infty)}. \]
2) \(y=\sqrt{4^x-1}\)
\[ 4^x-1\ge0 \Longrightarrow 4^x\ge1=4^0. \]
Основание \(4>1\), поэтому
\[ x\ge0. \]
\[ \boxed{D(y)=[0;+\infty)}. \]
На прямой для №234 нужно поставить закрашенную точку в \(0\) и провести луч вправо: значение \(0\) входит, потому что подкоренное выражение при \(x=0\) равно нулю.
