11
Нахождение областей определения функций
Мне нужно найти области определения нескольких функций. Для первой функции подходят все действительные числа. Для второй функции знаменатель \(1 + x \neq 0\) подразумевает \(x \neq -1\), поэтому область определения — \((-∞, -1)∪(-1, +∞)\). Для третьей функции подкоренное выражение \(\sqrt{9 - x^2} \geq 0\) требует выполнения условия, в результате чего область определения — \([-3, 3]\). Я проверю эти условия и отмечу, что следует быть внимательным к точной записи. Я дам краткий окончательный ответ на русском языке.
Краткий ответ:
а) \(D(y)=\mathbb{R}\);
б) \(D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty)\);
в) \(D(y)=[-3;3]\).
Решение:
Область определения — это все значения \(x\), при которых формула имеет смысл.
а) \(y=x^2+2x\) — многочлен, он определён при любом \(x\): \[ D(y)=\mathbb{R}. \]
б) В дроби знаменатель не должен быть равен нулю: \[ 1+x\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne-1. \] Значит, \[ D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}. \]
в) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 9-x^2\ge0, \] \[ x^2\le9 \quad\Rightarrow\quad -3\le x\le3. \] Следовательно, \[ D(y)=[-3;3]. \]
Проверка: при \(x=-1\) во втором выражении знаменатель равен нулю, а при \(x\in[-3;3]\) выражение \(9-x^2\) неотрицательно.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
Во втором пункте \(x\) — это переменная из самой формулы. В знаменателе стоит выражение
\[ 1+x. \]
Для дроби знаменатель не может быть равен нулю, поэтому записываем условие:
\[ 1+x\ne0. \]
Теперь решаем неравенство:
\[ 1+x\ne0 \quad\Longrightarrow\quad x\ne-1, \]
потому что при \(x=-1\)
\[ 1+(-1)=0. \]
Значит, любое число подходит, кроме \(-1\):
\[ D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1\} \]
или
\[ D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty). \]
То есть \(x\) не появляется дополнительно — он уже был в знаменателе исходной функции.
