сколько сторон имеет выпуклый многоугольник каждый угол которого равен 60;108
Ответ:
- если каждый угол равен \(60^\circ\), то многоугольник имеет 3 стороны;
- если каждый угол равен \(108^\circ\), то он имеет 5 сторон.
Сумма внутренних углов \(n\)-угольника равна:
\[ (n-2)\cdot 180^\circ \]
Если каждый из \(n\) углов равен \(\alpha\), то:
\[ n\alpha=(n-2)\cdot180^\circ \]
Отсюда:
\[ n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha} \]
- При \(\alpha=60^\circ\):
\[ n=\frac{360}{180-60}=\frac{360}{120}=3 \]
Проверка: \(3\cdot60^\circ=180^\circ\).
- При \(\alpha=108^\circ\):
\[ n=\frac{360}{180-108}=\frac{360}{72}=5 \]
Проверка: \(5\cdot108^\circ=540^\circ\), а \((5-2)\cdot180^\circ=540^\circ\).
Обсуждение
2 сообщенияВыведи формулу для числа сторон самостоятельно
Пусть \(n\) — число сторон выпуклого многоугольника, а каждый его угол равен \(\alpha\).
Проведём диагонали из одной вершины. Они разобьют многоугольник на \(n-2\) треугольника, поэтому сумма его внутренних углов равна
\[ (n-2)\cdot180^\circ. \]
С другой стороны, так как каждый из \(n\) углов равен \(\alpha\), сумма углов равна
\[ n\alpha. \]
Приравняем:
\[ n\alpha=(n-2)\cdot180^\circ. \]
Раскроем скобки:
\[ n\alpha=180^\circ n-360^\circ. \]
Перенесём \(n\alpha\) в правую часть:
\[ 360^\circ=n(180^\circ-\alpha). \]
Отсюда получаем формулу:
\[ \boxed{n=\frac{360^\circ}{180^\circ-\alpha}}. \]
Для \(\alpha=60^\circ\): \(n=3\); для \(\alpha=108^\circ\): \(n=5\).
