объясните решение
Объяснение степенного правила дифференцирования
Мне нужно чётко объяснить степенное правило дифференцирования. Для функции \(- x^{-3/2}\) производная вычисляется следующим образом: \(- [(-3/2)x^{-5/2}]\), что упрощается до \(+ \frac{3}{2} x^{-5/2}\).
Затем я преобразую \(x^{1/2}\) в \(\sqrt{x}\) и представлю \(x^{-5/2}\) как \(\frac{1}{x^{5/2}} = \frac{1}{x^2 \sqrt{x}}\) для положительных \(x\). Наконец, я вычислю и упрощу \(f'(3)\).
Проверка производных
Мне нужно включить проверку результата, возможно, проверив производную при x=1 без использования отдельного числового калькулятора. Я также могу проверить её при x=3 с помощью разложения на множители, вычислив f'(3). Первый член становится довольно простым, тогда как второй член может потребовать немного большего внимания. Я должен объяснить общий принцип, согласно которому степенное правило применяется для всех действительных степеней при положительных x, и что даже для отрицательных показателей оно по-прежнему выполняется.
Разберём полностью видимый на фото пункт 4.
Краткий ответ: \[ f'(x)=\frac{3\sqrt{x}}2+\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}, \] поэтому \[ \boxed{f'(3)=\frac{14\sqrt3}{9}},\qquad \boxed{f'(1)=3}. \]
1. Находим производную
Дана функция: \[ f(x)=x^{\frac32}-x^{-\frac32}. \]
Используем правило: \[ (x^n)'=nx^{n-1}. \]
Тогда: \[ \left(x^{\frac32}\right)'=\frac32x^{\frac32-1} =\frac32x^{\frac12}, \] а для второго слагаемого: \[ \left(-x^{-\frac32}\right)' =-\left(-\frac32x^{-\frac32-1}\right) =\frac32x^{-\frac52}. \]
Знак стал плюсом, потому что перед скобками и внутри производной стоят два минуса.
Получаем: \[ f'(x)=\frac32x^{\frac12}+\frac32x^{-\frac52}. \]
2. Записываем через корни
\[ x^{\frac12}=\sqrt{x}, \] а \[ x^{-\frac52}=\frac1{x^{\frac52}} =\frac1{x^2\sqrt{x}}. \]
Значит, \[ f'(x)=\frac{3\sqrt{x}}2+ \frac{3}{2x^2\sqrt{x}}. \]
3. Находим \(f'(3)\)
\[ f'(3)=\frac{3\sqrt3}{2} +\frac{3}{2\cdot3^2\sqrt3}. \]
Упростим второе слагаемое: \[ \frac{3}{18\sqrt3} =\frac{\sqrt3}{18}. \]
Тогда: \[ f'(3)=\frac{3\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{18} =\frac{27\sqrt3}{18}+\frac{\sqrt3}{18} =\frac{28\sqrt3}{18} =\frac{14\sqrt3}{9}. \]
4. Находим \(f'(1)\)
\[ f'(1)=\frac{3\sqrt1}{2} +\frac{3}{2\cdot1^2\sqrt1} =\frac32+\frac32=3. \]
Проверка: подстановка \(x=1\) в производную действительно даёт \(3\), а при \(x=3\) — \(\frac{14\sqrt3}{9}\).
