реши это симметрическое уравнение четвёртой степени

Краткий ответ: \[ \boxed{x=1,\quad x=\frac{3-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{3+\sqrt5}{2}} \] Причём \(x=1\) — корень кратности \(2\).

Дано: \[ x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0. \]

Это симметрическое уравнение: коэффициенты с одинаковыми расстояниями от краёв совпадают. Так как \(x=0\) не является корнем, делим всё уравнение на \(x^2\): \[ x^2-5x+8-\frac5x+\frac1{x^2}=0. \]

Сгруппируем слагаемые: \[ \left(x^2+\frac1{x^2}\right) -5\left(x+\frac1x\right)+8=0. \]

Введём замену: \[ t=x+\frac1x. \] Тогда \[ x^2+\frac1{x^2} =\left(x+\frac1x\right)^2-2=t^2-2. \]

Подставим: \[ t^2-2-5t+8=0, \] \[ t^2-5t+6=0, \] \[ (t-2)(t-3)=0. \]

Получаем два случая.

1) \(t=2\): \[ x+\frac1x=2, \] \[ x^2-2x+1=0, \] \[ (x-1)^2=0, \] \[ x=1. \]

2) \(t=3\): \[ x+\frac1x=3, \] \[ x^2-3x+1=0, \] \[ x=\frac{3\pm\sqrt{9-4}}2 =\frac{3\pm\sqrt5}{2}. \]

Проверка факторизацией: \[ x^4-5x^3+8x^2-5x+1 =(x-1)^2(x^2-3x+1), \] поэтому найденные корни верны.