С изображением и решением и ответом
Краткий ответ
а) Для параллелограмма \(RFQP\): \[ \angle R=\angle Q=\alpha+\beta, \] \[ \angle F=\angle P=180^\circ-(\alpha+\beta). \]
б) Для параллелограмма \(ABCD\): \[ \angle A=\angle C=2\alpha, \] \[ \angle B=\angle D=180^\circ-2\alpha. \] Кроме того, \(ABCD\) — ромб.
Решение
а) Диагональ \(RQ\) делит угол \(R\) на два угла: \[ \angle R=\alpha+\beta. \] В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому \[ \angle Q=\alpha+\beta. \] Соседние углы параллелограмма в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle F=\angle P=180^\circ-(\alpha+\beta). \]
б) По отметкам на рисунке: \[ AB=BC. \] Значит, треугольник \(ABC\) равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: \[ \angle BAC=\angle ACB=\alpha. \] Тогда \[ \angle ABC=180^\circ-2\alpha. \] Это угол \(B\) параллелограмма: \[ \angle B=180^\circ-2\alpha. \] Соседний угол: \[ \angle A=180^\circ-\angle B=2\alpha. \] Противоположные углы равны, поэтому \[ \angle C=2\alpha,\qquad \angle D=180^\circ-2\alpha. \]
Так как \(ABCD\) — параллелограмм, \[ AB=CD,\qquad BC=AD. \] А по условию \(AB=BC\). Следовательно, \[ AB=BC=CD=AD, \] то есть все стороны равны. Значит, \(ABCD\) — ромб.
Проверка: соседние углы в обоих случаях дают \(180^\circ\), а все четыре угла — \(360^\circ\).
Обсуждение
4 сообщенияС рисунком
Вот схематичные рисунки к решению (не в масштабе).
а) Параллелограмм \(RFQP\)
R────────────F
│ α╲ │
│ ╲ │
│ β ╲ │
P────────────Q
RQ
Диагональ \(RQ\) делит угол \(R\) на части \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому:
\[ \angle R=\angle Q=\alpha+\beta, \]
\[ \angle F=\angle P=180^\circ-(\alpha+\beta). \]
б) Параллелограмм \(ABCD\)
A────────────B
│ α╲ │
│ ╲ │
│ ╲ α │
D────────────C
По условию:
\[ AB=BC. \]
Значит, \(\triangle ABC\) — равнобедренный:
\[ \angle BAC=\angle ACB=\alpha. \]
Тогда:
\[ \angle B=180^\circ-2\alpha. \]
Соседние углы параллелограмма supplementary:
\[ \angle A=\angle C=2\alpha, \]
\[ \angle B=\angle D=180^\circ-2\alpha. \]
Кроме того, \(AB=BC\), а в параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому:
\[ AB=BC=CD=AD. \]
Следовательно, \(ABCD\) — ромб.
С рисунком
Вот решение с рисунками. Рисунки схематичные, не в масштабе.
а) Параллелограмм \(RFQP\)
Диагональ \(RQ\) делит угол \(R\) на углы \(\alpha\) и \(\beta\):
R────────────F
╲ α ╲ ╲
╲ ╲ ╲
╲ β ╲ ╲
P──────╲──Q
RQ
\[ \angle R=\alpha+\beta. \]
В параллелограмме противоположные углы равны:
\[ \angle Q=\alpha+\beta. \]
Соседние углы в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle F=\angle P=180^\circ-(\alpha+\beta). \]
Ответ:
\[ \boxed{\angle R=\angle Q=\alpha+\beta} \]
\[ \boxed{\angle F=\angle P=180^\circ-\alpha-\beta} \]
б) Параллелограмм \(ABCD\)
Диагональ \(AC\), причём \(AB=BC\):
A────────────B
╲ α ╲ ╲
╲ ╲ ╲
╲ ╲ α ╲
D──────╲───C
AC
Так как
\[ AB=BC, \]
то \(\triangle ABC\) — равнобедренный. Поэтому
\[ \angle BAC=\angle ACB=\alpha. \]
Тогда
\[ \angle B=180^\circ-2\alpha. \]
Соседние углы параллелограмма supplementary:
\[ \angle A=180^\circ-\angle B=2\alpha. \]
Противоположные углы равны:
\[ \angle C=2\alpha,\qquad \angle D=180^\circ-2\alpha. \]
Кроме того,
\[ AB=BC,\quad AB=CD,\quad BC=AD, \]
значит,
\[ AB=BC=CD=AD. \]
Следовательно, \(ABCD\) — ромб.
Ответ:
\[ \boxed{\angle A=\angle C=2\alpha} \]
\[ \boxed{\angle B=\angle D=180^\circ-2\alpha} \]
\[ \boxed{ABCD\text{ — ромб}} \]
