Краткий ответ:
\[ \boxed{|\overrightarrow{AA_1}|=\frac{\sqrt3}{2}},\qquad \boxed{|\overrightarrow{AO}|=\frac{\sqrt3}{3}},\qquad \boxed{|\overrightarrow{OA_1}|=\frac{\sqrt3}{6}}. \]
Решение:
Так как все стороны треугольника \(ABC\) равны \(1\), он равносторонний. Точка \(A_1\) — середина стороны \(BC\), поэтому
\[ BA_1=\frac{BC}{2}=\frac12. \]
Медиана \(AA_1\) в равностороннем треугольнике является также высотой. По теореме Пифагора:
\[ AA_1=\sqrt{AB^2-BA_1^2} =\sqrt{1^2-\left(\frac12\right)^2} =\sqrt{\frac34} =\frac{\sqrt3}{2}. \]
Медианы точкой пересечения \(O\) делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины:
\[ AO=\frac23AA_1=\frac23\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{3}, \]
\[ OA_1=\frac13AA_1=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{6}. \]
Проверка:
\[ AO+OA_1=\frac{\sqrt3}{3}+\frac{\sqrt3}{6} =\frac{\sqrt3}{2}=AA_1. \]