Номер 81 реши
Рассмотрение математических выражений
Я работаю с выражениями, содержащими квадратные корни и отрицательные показатели степени. Я понимаю, что переменные \(a\) и \(b\), возможно, должны быть положительными. В частности, хочу отметить, что \(a\) должно быть больше нуля, тогда как \(b\) может быть равно нулю или больше нуля. В контексте задания 1 ясно, что можно указать \(a > 0\) и \(b \ge 0\), обеспечив \(a \ne b\). Результат равен просто \(1/a\).
Анализ математических задач
Сначала нужно дать краткий ответ, а затем разобрать основные шаги для вопроса пользователя по упражнению 81, которое содержит четыре математические задачи. Следует разложить выражения на множители и использовать формулы, проверяя правильность всей записи. Важно объяснить общие множители и возможные ограничения, не перегружая решение. Я внимательнее рассмотрю изображение, чтобы избежать ошибок. Первый пункт, по-видимому, связан с делением, обозначенным двоеточием, что следует уточнить. Приступим к решению этих задач!
Уточнение дробных выражений
Я обнаруживаю возможную проблему в подпункте 3: возможно, первый числитель имеет вид \(a^{1/4}-a^{9/4}\), а знаменатель — \(a^{1/4}-a^{5/4}\). При более внимательном рассмотрении это выглядит правильно. Вторая дробь в этом подпункте может быть \(\frac{b^{-1/2}-b^{3/2}}{b^{1/2}+b^{-1/2}}\), что является хорошим наблюдением. Необходимо указать ограничения: в общем случае \(a > 0\) и \(b > 0\), чтобы знаменатели не обращались в ноль, например \(a \ne b\) для первой и четвёртой задач.
Анализ выражений и проверка
Я разбираю выражение по шагам. Сначала можно упростить \( a^{1/2}-a^{-1/2}b \) до \( a^{-1/2}(a-b) \), а нижнюю часть \( 1-\sqrt{a^{-1}b} \) — до \( a^{-1/2}(\sqrt{a}-\sqrt{b}) \). Первая частная дробь упрощается до \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \).
Затем я замечаю, что ко второй части можно применить разложение на множители, и проверяю результаты с помощью подстановок, например \( a=4 \) и \( b=1 \). Думаю, для ясности следует представить эти проверки пользователю.
Краткий ответ:
\(\displaystyle \frac1a\);
\(\displaystyle \frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}\);
\(\displaystyle a+b\);
\(\displaystyle 2\sqrt b\).
Считаем \(a,b>0\). Также исходные знаменатели должны быть ненулевыми: в пунктах 1 и 4 \(a\ne b\), в пункте 3 \(a\ne1\).
1)
\[ \left(1-2\sqrt{\frac ba}+\frac ba\right): (\sqrt a-\sqrt b)^2 \]
В числителе применяем формулу квадрата разности:
\[ 1-2\sqrt{\frac ba}+\frac ba =\left(1-\sqrt{\frac ba}\right)^2. \]
Так как
\[ 1-\sqrt{\frac ba} =1-\frac{\sqrt b}{\sqrt a} =\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a}, \]
то
\[ \frac{\left(\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a}\right)^2} {(\sqrt a-\sqrt b)^2} =\frac1a. \]
2)
Обозначим:
\[ x=\sqrt[3]{a},\qquad y=\sqrt[3]{b}. \]
Тогда
\[ \frac{x+y}{2+\frac xy+\frac yx}. \]
Приведём знаменатель к общему знаменателю:
\[ 2+\frac xy+\frac yx =\frac{2xy+x^2+y^2}{xy} =\frac{(x+y)^2}{xy}. \]
Следовательно,
\[ \frac{x+y}{\frac{(x+y)^2}{xy}} =\frac{xy}{x+y}. \]
Возвращаемся к \(a\) и \(b\):
\[ \boxed{\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}}. \]
3)
\[ \frac{a^{1/4}-a^{9/4}}{a^{1/4}-a^{5/4}} -\frac{b^{-1/2}-b^{3/2}}{b^{1/2}+b^{-1/2}}. \]
Вынесем общие множители:
\[ \frac{a^{1/4}(1-a^2)}{a^{1/4}(1-a)} -\frac{b^{-1/2}(1-b^2)}{b^{-1/2}(b+1)}. \]
Сокращаем:
\[ \frac{1-a^2}{1-a}-\frac{1-b^2}{b+1}. \]
Используем разность квадратов:
\[ \frac{(1-a)(1+a)}{1-a} -\frac{(1-b)(1+b)}{1+b} =(1+a)-(1-b). \]
\[ \boxed{a+b}. \]
4)
\[ \frac{\sqrt a-a^{-1/2}b}{1-\sqrt{a^{-1}b}} -\frac{\sqrt[3]{a^2}-a^{-1/3}b} {\sqrt[6]{a}+a^{-1/3}\sqrt b}. \]
Первая дробь:
\[ \sqrt a-a^{-1/2}b=a^{-1/2}(a-b), \]
\[ 1-\sqrt{\frac ba} =a^{-1/2}(\sqrt a-\sqrt b). \]
Поэтому
\[ \frac{a^{-1/2}(a-b)} {a^{-1/2}(\sqrt a-\sqrt b)} =\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b} =\sqrt a+\sqrt b. \]
Вторая дробь:
\[ \sqrt[3]{a^2}-a^{-1/3}b =a^{-1/3}(a-b), \]
\[ \sqrt[6]{a}+a^{-1/3}\sqrt b =a^{-1/3}(\sqrt a+\sqrt b). \]
Тогда
\[ \frac{a^{-1/3}(a-b)} {a^{-1/3}(\sqrt a+\sqrt b)} =\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b} =\sqrt a-\sqrt b. \]
Получаем:
\[ (\sqrt a+\sqrt b)-(\sqrt a-\sqrt b) =\boxed{2\sqrt b}. \]
Проверка: при \(a=4,\ b=1\) четыре исходных выражения дают соответственно \(\frac14\), \(\frac{\sqrt[3]4}{\sqrt[3]4+1}\), \(5\) и \(2\), что совпадает с полученными формулами.
