сделай 3 и 4 задачу

Задача 3

Дано

\[ D=20\ \text{см},\qquad d=1\ \text{см}, \]

\[ L=1\ \text{мГн},\qquad I_{\max}=0{,}1\ \text{А}. \]

Конденсатор воздушный, поэтому:

\[ \varepsilon_r=1,\qquad \varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Ф/м}. \]

Найти: \(U_{\max}\).

Переведём величины в СИ

\[ D=20\ \text{см}=0{,}2\ \text{м}, \]

\[ d=1\ \text{см}=0{,}01\ \text{м}, \]

\[ L=1\ \text{мГн}=10^{-3}\ \text{Гн}. \]

Радиус пластин:

\[ r=\frac{D}{2}=\frac{0{,}2}{2}=0{,}1\ \text{м}. \]

Решение

Площадь круглой пластины конденсатора:

\[ S=\pi r^2. \]

\[ S=3{,}14\cdot(0{,}1)^2 =3{,}14\cdot10^{-2}\ \text{м}^2. \]

Ёмкость воздушного конденсатора:

\[ C=\varepsilon_0\frac{S}{d}. \]

\[ C=8{,}85\cdot10^{-12}\cdot \frac{3{,}14\cdot10^{-2}}{10^{-2}} \approx2{,}78\cdot10^{-11}\ \text{Ф}. \]

В колебательном контуре энергия сохраняется:

\[ \frac{LI_{\max}^2}{2} = \frac{CU_{\max}^2}{2}. \]

Отсюда:

\[ U_{\max}=I_{\max}\sqrt{\frac{L}{C}}. \]

Подставим значения:

\[ U_{\max}=0{,}1\sqrt{ \frac{10^{-3}}{2{,}78\cdot10^{-11}} } \approx600\ \text{В}. \]

Ответ

\[ \boxed{U_{\max}\approx600\ \text{В}} \]

---

Задача 4

Дано

\[ L=31\ \text{мГн},\qquad I_{\max}=0{,}2\ \text{мА}, \]

\[ U_{\max}=10\ \text{В}, \]

\[ S=20\ \text{см}^2,\qquad d=1\ \text{см}. \]

\[ \varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Ф/м}. \]

Найти: \(\varepsilon_r\) — относительную диэлектрическую проницаемость.

Переведём величины в СИ

\[ L=31\ \text{мГн}=31\cdot10^{-3}=0{,}031\ \text{Гн}, \]

\[ I_{\max}=0{,}2\ \text{мА}=2\cdot10^{-4}\ \text{А}, \]

\[ S=20\ \text{см}^2=20\cdot10^{-4} =2\cdot10^{-3}\ \text{м}^2, \]

\[ d=1\ \text{см}=10^{-2}\ \text{м}. \]

Решение

При максимальном токе энергия магнитного поля катушки равна энергии электрического поля конденсатора:

\[ \frac{LI_{\max}^2}{2} = \frac{CU_{\max}^2}{2}. \]

Найдём ёмкость конденсатора:

\[ C=\frac{LI_{\max}^2}{U_{\max}^2}. \]

Подставим значения:

\[ C= \frac{0{,}031\cdot(2\cdot10^{-4})^2}{10^2}. \]

\[ C= \frac{0{,}031\cdot4\cdot10^{-8}}{100} =1{,}24\cdot10^{-11}\ \text{Ф}. \]

Ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком определяется формулой:

\[ C=\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{S}{d}. \]

Выразим диэлектрическую проницаемость:

\[ \varepsilon_r=\frac{Cd}{\varepsilon_0S}. \]

Подставим значения:

\[ \varepsilon_r= \frac{1{,}24\cdot10^{-11}\cdot10^{-2}} {8{,}85\cdot10^{-12}\cdot2\cdot10^{-3}}. \]

\[ \varepsilon_r\approx7. \]

Ответ

\[ \boxed{\varepsilon_r\approx7} \]

Задача 1

Дано

\[ U_{\max}=20\ \text{мВ},\qquad T=2\ \text{мкс}, \]

\[ C=5\ \text{нФ}. \]

Найти:

а) \(f\);

б) \(L\);

в) \(W_{м\ max}\).

Переведём величины в СИ

\[ U_{\max}=20\ \text{мВ}=20\cdot10^{-3}=2\cdot10^{-2}\ \text{В}, \]

\[ T=2\ \text{мкс}=2\cdot10^{-6}\ \text{с}, \]

\[ C=5\ \text{нФ}=5\cdot10^{-9}\ \text{Ф}. \]

---

а) Частота колебаний

Частота и период связаны формулой:

\[ f=\frac{1}{T}. \]

Подставим значение периода:

\[ f=\frac{1}{2\cdot10^{-6}} =5\cdot10^5\ \text{Гц}. \]

\[ \boxed{f=5\cdot10^5\ \text{Гц}=500\ \text{кГц}} \]

---

б) Индуктивность катушки

Период колебаний в контуре:

\[ T=2\pi\sqrt{LC}. \]

Выразим индуктивность:

\[ L=\frac{T^2}{4\pi^2C}. \]

Подставим значения:

\[ L=\frac{(2\cdot10^{-6})^2} {4\pi^2\cdot5\cdot10^{-9}}. \]

\[ L\approx2{,}0\cdot10^{-5}\ \text{Гн}. \]

Переведём в микрогенри:

\[ L\approx20\ \text{мкГн}. \]

\[ \boxed{L\approx2{,}0\cdot10^{-5}\ \text{Гн}=20\ \text{мкГн}} \]

---

в) Максимальная энергия магнитного поля

В колебательном контуре энергия сохраняется. Максимальная энергия магнитного поля равна максимальной энергии электрического поля конденсатора:

\[ W_{м\ max}=W_{э\ max}=\frac{CU_{\max}^2}{2}. \]

Подставим значения:

\[ W_{м\ max} =\frac{5\cdot10^{-9}\cdot(2\cdot10^{-2})^2}{2}. \]

\[ W_{м\ max} =\frac{5\cdot10^{-9}\cdot4\cdot10^{-4}}{2} =1\cdot10^{-12}\ \text{Дж}. \]

\[ \boxed{W_{м\ max}=1\cdot10^{-12}\ \text{Дж}} \]

Ответ

\[ \boxed{f=500\ \text{кГц}} \]

\[ \boxed{L\approx20\ \text{мкГн}} \]

\[ \boxed{W_{м\ max}=1\cdot10^{-12}\ \text{Дж}} \]