реши и объясни

Краткий ответ:

• а) точка минимума: \(\boxed{x=9}\)
  Значение функции: \(f(9)=-17\), поэтому точка графика — \(\boxed{(9;\,-17)}\).

• б) точка минимума: \(\boxed{x=-\dfrac{15}{2}}\)
  Значение функции: \(f\left(-\dfrac{15}{2}\right)=-\dfrac{16875}{32}\), поэтому точка графика —
  \(\boxed{\left(-\dfrac{15}{2};-\dfrac{16875}{32}\right)}\).

а) \(f(x)=10-9x+2x\sqrt{x}\)

Область определения: \(x\ge 0\). Сделаем замену:

\[ t=\sqrt{x},\qquad x=t^2,\qquad t\ge0. \]

Тогда

\[ f(t)=10-9t^2+2t^3. \]

Находим производную:

\[ f'(t)=-18t+6t^2=6t(t-3). \]

При \(0<t<3\) функция убывает, а при \(t>3\) возрастает. Значит, минимум достигается при \(t=3\).

\[ x=t^2=3^2=9. \]

Проверка значения:

\[ f(9)=10-9\cdot9+2\cdot9\cdot3=10-81+54=-17. \]

б) \(f(x)=\dfrac12x^4+5x^3\)

Находим производную:

\[ f'(x)=2x^3+15x^2=x^2(2x+15). \]

Критические точки:

\[ x^2(2x+15)=0, \]

\[ x=0,\qquad x=-\frac{15}{2}. \]

Производная меняет знак с «−» на «+» при

\[ x=-\frac{15}{2}, \]

поэтому это точка минимума. При \(x=0\) смены знака нет.

\[ \boxed{x_{\min}=-\frac{15}{2}}. \]