Реши задание на изображении
Вычисление значений функции на концах отрезка
Я работаю над вычислением значений функции, чтобы найти максимальные значения. В правом конце \(x=0\) значение функции \(f(0)\) равно \(-12\). Теперь, проверяя левый конец, мне нужно вычислить \(f(-5π/3)\). Для этого я пытаюсь найти \(\sin(-5π/3)\). Я помню, что \(\sin(-300°)\) равен \(\sin(60°)\), что помогло бы. Также я отмечаю, что \(-5π/3 + 2π\) равно \(π/3\), поэтому \(\sin(π/3) = √3/2\).
Вычисление производных
Мне нужно найти производную функции: \(f'_a=16e^x -10e^{2x}=2e^x(8-5e^x)\). Поскольку \(e^x\) всегда положительно, я приравниваю производную к нулю, что приводит к \(e^x=8/5\). Отсюда \(x0=ln(8/5)\), что действительно находится внутри интересующего меня интервала.
Затем я вычисляю вторую производную, \(f''=16 e^x -20 e^{2x}\), подставляя значение в точке \(x0\). Мне нужно внимательно проверить предыдущие вычисления, поскольку раньше я допустил ошибку со знаками.
Краткий ответ:
- а) \(\displaystyle \frac{159}{5}\), достигается при \(x=\ln\frac85\);
- б) \(-12\), достигается при \(x=0\).
а) \(f(x)=16e^x-5e^{2x}+19\)
Найдём производную:
\[ f'(x)=16e^x-10e^{2x} =2e^x(8-5e^x). \]
Так как \(e^x>0\), критическая точка определяется условием
\[ 8-5e^x=0 \quad\Rightarrow\quad e^x=\frac85 \quad\Rightarrow\quad x=\ln\frac85. \]
Эта точка принадлежит отрезку \([-5;5]\). В ней функция меняет возрастание на убывание, поэтому это точка максимума.
\[ f\left(\ln\frac85\right) =16\cdot\frac85-5\cdot\left(\frac85\right)^2+19 \]
\[ =\frac{128}{5}-\frac{64}{5}+19 =\frac{64}{5}+\frac{95}{5} =\boxed{\frac{159}{5}}. \]
б) \(f(x)=8\sin x+11x-12\)
\[ f'(x)=8\cos x+11. \]
Поскольку \(\cos x\ge -1\),
\[ f'(x)\ge 8\cdot(-1)+11=3>0. \]
Значит, функция возрастает на всём отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{3};0\right]\), поэтому наибольшее значение достигается в правом конце:
\[ f(0)=8\sin0+11\cdot0-12=\boxed{-12}. \]
