Ответ

Правило производной степени

Если \[ y=x^n, \] то \[ \boxed{y'=n x^{n-1}}. \]

То есть:

1. показатель степени \(n\) становится множителем;
2. из показателя вычитаем \(1\).

Примеры

1. \[ y=x^5 \] Пятёрка становится множителем: \[ y'=5x^{5-1}=5x^4. \]

2. \[ y=x^3 \] \[ y'=3x^{3-1}=3x^2. \]

3. Если есть число перед степенью: \[ y=4x^3 \] Число \(4\) сохраняется: \[ y'=4\cdot 3x^2=12x^2. \]

4. Линейная функция: \[ y=x=x^1 \] \[ y'=1\cdot x^{1-1}=x^0=1. \]

5. Постоянное число: \[ y=7=7x^0 \] \[ y'=0\cdot 7x^{-1}=0. \] Производная постоянного числа равна нулю.

Как найти производную корня

Корень записываем как степень: \[ \sqrt{x}=x^{\frac12}. \]

Тогда: \[ (\sqrt{x})'=\left(x^{\frac12}\right)' =\frac12x^{-\frac12} =\frac{1}{2\sqrt{x}}. \]

Если перед корнем стоит \(2\): \[ (2\sqrt{x})' =2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{1}{\sqrt{x}}. \]

Итак: \[ \boxed{(x^5)'=5x^4},\qquad \boxed{(2\sqrt{x})'=\frac1{\sqrt{x}}}. \]

Главное — не забыть умножить на прежний показатель степени.

1. «Рубеж XIX–XX веков» — это период конца XIX и начала XX века, переход от одного столетия к другому и от традиционного общества к индустриальному.

2. В жизни людей происходили большие изменения: быстро росли города и промышленность, развивался транспорт, появлялись новые профессии, распространялись образование, электричество и средства связи. Темп жизни становился быстрее.

3. Появились или получили широкое распространение:

   • электрическое освещение;
   • телефон и радио;
   • автомобиль;
   • самолёт;
   • кинематограф;
   • фонограф;
   • рентгеновские аппараты.

4. Изменения в обществе повлияли на литературу, потому что писатели стали описывать новую жизнь, город, технический прогресс, социальное неравенство, душевные переживания человека. Возникли новые темы, художественные приёмы и литературные направления, например символизм, акмеизм и футуризм.

5. Это время называют переходным, потому что старые традиции и ценности ещё сохранялись, но уже формировалось новое индустриальное общество. Происходили научные, технические, социальные и культурные перемены.

Правило производной степени

Для функции \[ y=x^n \] производная находится по формуле: \[ \boxed{(x^n)'=n x^{n-1}}. \]

Запомни два шага:

1. Показатель степени \(n\) ставим перед \(x\) множителем.
2. Из показателя вычитаем \(1\).

Примеры

\[ (x^5)'=5x^{5-1}=5x^4. \]

\[ (x^3)'=3x^{3-1}=3x^2. \]

Если перед степенью есть число: \[ (4x^3)'=4\cdot 3x^2=12x^2. \]

Если степень равна \(1\): \[ (x)'=(x^1)'=1\cdot x^0=1. \]

Постоянное число можно представить как \(7x^0\): \[ (7)'=0. \]

Корень и отрицательная степень

Корень записываем как дробную степень: \[ \sqrt{x}=x^{\frac12}. \]

Тогда: \[ (\sqrt{x})' =\left(x^{\frac12}\right)' =\frac12x^{-\frac12} =\frac{1}{2\sqrt{x}}. \]

А поскольку \[ \frac1{x^2}=x^{-2}, \] то \[ \left(\frac1{x^2}\right)' =(x^{-2})' =-2x^{-3} =-\frac2{x^3}. \]

Главная схема: \[ \boxed{x^n\longrightarrow nx^{n-1}}. \]