Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Определители второго порядка:
   а) \(-12\); б) \(26\); в) \(1\).

2. Определители третьего порядка:
   а) \(0\); б) \(2x^3\).

3. Решение системы: \[ \boxed{x=2,\quad y=0,\quad z=-3}. \]

Решение

1. Определители второго порядка

Используем правило: \[ \begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc. \]

а) \[ \begin{vmatrix} 4&-1\\ 0&-3 \end{vmatrix} =4\cdot(-3)-(-1)\cdot0=-12. \]

б) \[ \begin{vmatrix} 5&-0{,}5\\ 12&4 \end{vmatrix} =5\cdot4-(-0{,}5)\cdot12 =20+6=26. \]

в) \[ \begin{vmatrix} \cos x&-\sin x\\ \sin x&\cos x \end{vmatrix} =\cos^2x-(-\sin x)\sin x =\cos^2x+\sin^2x=1. \]

Здесь использовано основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2x+\cos^2x=1. \]

2. Определители третьего порядка

Раскрываем определитель по первой строке со знаками \(+,-,+\).

а) \[ \Delta= \begin{vmatrix} 0&1&2\\ -1&0&3\\ -2&-3&0 \end{vmatrix} \]

\[ \Delta= 0-1 \begin{vmatrix} -1&3\\ -2&0 \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} -1&0\\ -2&-3 \end{vmatrix}. \]

\[ \Delta=-1\cdot6+2\cdot3=-6+6=0. \]

б) \[ \Delta= \begin{vmatrix} x&x^2&x^3\\ 1&2x&3x^2\\ 0&2&6x \end{vmatrix} \]

\[ \Delta= x \begin{vmatrix} 2x&3x^2\\ 2&6x \end{vmatrix} -x^2 \begin{vmatrix} 1&3x^2\\ 0&6x \end{vmatrix} +x^3 \begin{vmatrix} 1&2x\\ 0&2 \end{vmatrix}. \]

\[ \Delta=x(12x^2-6x^2)-x^2(6x)+x^3\cdot2 \] \[ \Delta=6x^3-6x^3+2x^3=2x^3. \]

3. Решение системы

\[ \begin{cases} 4x+y+2z=2,\\ 2x+5y+z=1,\\ x+6y-3z=11. \end{cases} \]

Из первого уравнения выразим \(y\): \[ y=2-4x-2z. \]

Подставим во второе уравнение: \[ 2x+5(2-4x-2z)+z=1, \] \[ -18x-9z=-9, \] \[ 2x+z=1. \]

Подставим выражение для \(y\) в третье уравнение: \[ x+6(2-4x-2z)-3z=11, \] \[ 23x+15z=1. \]

Из уравнения \(2x+z=1\): \[ z=1-2x. \]

Тогда: \[ 23x+15(1-2x)=1, \] \[ -7x=-14, \] \[ x=2. \]

\[ z=1-2\cdot2=-3, \] \[ y=2-4\cdot2-2(-3)=0. \]

Проверка

\[ 4\cdot2+0+2(-3)=2, \] \[ 2\cdot2+5\cdot0-3=1, \] \[ 2+6\cdot0-3(-3)=11. \]

Все равенства верны.