Реши задание на изображении

Краткий ответ

На изображении видны три задания:

1. Система: \[ \boxed{x=2,\ y=0,\ z=-3} \]

2. Определитель: \[ \boxed{53} \]

3. Система по правилу Крамера: \[ \boxed{x=-1,\ y=1,\ z=2} \]

1. Решение системы

\[ \begin{cases} 4x+y+2z=2,\\ 2x+5y+z=1,\\ x+6y-3z=11. \end{cases} \]

Умножим второе уравнение на \(2\) и вычтем первое:

\[ (4x+10y+2z)-(4x+y+2z)=2-2, \]

\[ 9y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0. \]

Подставим \(y=0\) в первое и третье уравнения:

\[ \begin{cases} 4x+2z=2,\\ x-3z=11. \end{cases} \]

Из первого уравнения:

\[ 2x+z=1 \quad\Rightarrow\quad z=1-2x. \]

Подставим во второе:

\[ x-3(1-2x)=11, \]

\[ 7x=14 \quad\Rightarrow\quad x=2. \]

Тогда

\[ z=1-2\cdot2=-3. \]

Проверка:

\[ 4\cdot2+0+2(-3)=2, \] \[ 2\cdot2+5\cdot0-3=1, \] \[ 2+6\cdot0-3(-3)=11. \]

Ответ верный:

\[ \boxed{(x,y,z)=(2,0,-3)}. \]

---

2. Определитель по правилу Саррюса

\[ D= \begin{vmatrix} -2&4&-9\\ 3&5&4\\ 2&-1&4 \end{vmatrix}. \]

По правилу Саррюса:

\[ D=(-2\cdot5\cdot4+4\cdot4\cdot2+(-9)\cdot3\cdot(-1)) \] \[ -\bigl((-9)\cdot5\cdot2+(-2)\cdot4\cdot(-1)+4\cdot3\cdot4\bigr). \]

\[ D=(-40+32+27)-(-90+8+48) \]

\[ D=19-(-34)=53. \]

\[ \boxed{D=53} \]

Принцип правила Саррюса: складываются произведения по трём диагоналям вниз, затем вычитается сумма произведений по трём диагоналям вверх.

---

3. Решение системы по методу Крамера

\[ \begin{cases} 4x+3y+z=1,\\ 2x+y+3z=5,\\ 3x+2y+4z=7. \end{cases} \]

Главный определитель:

\[ D= \begin{vmatrix} 4&3&1\\ 2&1&3\\ 3&2&4 \end{vmatrix} \]

\[ D=4(1\cdot4-3\cdot2)-3(2\cdot4-3\cdot3)+(2\cdot2-1\cdot3) \]

\[ D=4(-2)-3(-1)+1=-4. \]

Так как \(D\neq0\), система имеет единственное решение.

Заменяем по очереди столбцы коэффициентов столбцом свободных членов:

\[ D_x= \begin{vmatrix} 1&3&1\\ 5&1&3\\ 7&2&4 \end{vmatrix} =4, \]

\[ D_y= \begin{vmatrix} 4&1&1\\ 2&5&3\\ 3&7&4 \end{vmatrix} =-4, \]

\[ D_z= \begin{vmatrix} 4&3&1\\ 2&1&5\\ 3&2&7 \end{vmatrix} =-8. \]

По формулам Крамера:

\[ x=\frac{D_x}{D}=\frac{4}{-4}=-1, \]

\[ y=\frac{D_y}{D}=\frac{-4}{-4}=1, \]

\[ z=\frac{D_z}{D}=\frac{-8}{-4}=2. \]

Проверка:

\[ 4(-1)+3\cdot1+2=1, \] \[ 2(-1)+1+3\cdot2=5, \] \[ 3(-1)+2+4\cdot2=7. \]

Ответ:

\[ \boxed{(x,y,z)=(-1,1,2)}. \]