Номер 705б
Краткий ответ: \(\boxed{60^\circ}\).
Для пункта 705б:
\[ A(5;-8;-1),\quad B(6;-8;-2), \] \[ C(7;-5;-11),\quad D(7;-7;-9). \]
Направляющие векторы прямых:
\[ \overrightarrow{AB}=B-A=(6-5;\,-8-(-8);\,-2-(-1))=(1;0;-1), \]
\[ \overrightarrow{CD}=D-C=(7-7;\,-7-(-5);\,-9-(-11))=(0;-2;2). \]
Угол между прямыми находим по формуле:
\[ \cos\varphi= \frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}|} {|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CD}|}. \]
Скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD} =1\cdot0+0\cdot(-2)+(-1)\cdot2=-2. \]
Длины векторов:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt2, \]
\[ |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt2. \]
Тогда
\[ \cos\varphi=\frac{|-2|}{\sqrt2\cdot2\sqrt2} =\frac{2}{4}=\frac12. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\varphi=60^\circ}. \]
Модуль в формуле используется потому, что угол между прямыми выбирают меньший из двух углов: \(60^\circ\), а не \(120^\circ\).
Обсуждение
3 сообщенияЧе за скрипты лол, где решение
Извини, вот решение обычным текстом.
Даны точки:
A(5; −8; −1), B(6; −8; −2), C(7; −5; −11), D(7; −7; −9).
- Находим направляющие векторы:
AB = (6 − 5; −8 + 8; −2 + 1) = (1; 0; −1)
CD = (7 − 7; −7 + 5; −9 + 11) = (0; −2; 2)
- Скалярное произведение:
AB · CD = 1 · 0 + 0 · (−2) + (−1) · 2 = −2
- Длины векторов:
|AB| = √2,
|CD| = √8 = 2√2.
- Формула угла между прямыми:
cos α = |AB · CD| / (|AB| · |CD|)
cos α = 2 / (√2 · 2√2) = 1/2.
Значит, α = 60°.
Ответ: 60°.
Номер 710
