Сделать 4.12

Краткий ответ:

1. \(13^{55}\);
2. \(7\);
3. \(36\);
4. \(19^{11}\);
5. \(3\);
6. \(4\).

Используем правила: \[ (a^m)^n=a^{mn},\qquad a^p\cdot a^q=a^{p+q},\qquad \frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}. \]

1. \[ \frac{(13^3)^{11}\cdot(13^3)^{10}}{(13^4)^2} =13^{3\cdot11+3\cdot10-4\cdot2} =13^{33+30-8}=13^{55}. \]

2. \[ \frac{(7^5)^6\cdot7^{27}}{(7^{14})^4} =7^{5\cdot6+27-14\cdot4} =7^{30+27-56}=7. \]

3. \[ \frac{(6^8)^9\cdot(6^4)^5}{(6^{24})^3\cdot(6^3)^6} =6^{8\cdot9+4\cdot5-24\cdot3-3\cdot6} =6^{72+20-72-18}=6^2=36. \]

4. \[ \frac{(19^{11})^7\cdot(19^7)^2}{(19^{20})^3\cdot19^{20}} =19^{11\cdot7+7\cdot2-20\cdot3-20} =19^{77+14-60-20}=19^{11}. \]

5. \[ \frac{(3^{15})^5\cdot(3^{12})^2}{(3^2)^{25}\cdot(3^3)^{16}} =3^{15\cdot5+12\cdot2-2\cdot25-3\cdot16} =3^{75+24-50-48}=3. \]

6. \[ \frac{(2^{40})^3\cdot(2^{12})^5}{(2^{45})^2\cdot(2^{11})^8} =2^{40\cdot3+12\cdot5-45\cdot2-11\cdot8} =2^{120+60-90-88}=2^2=4. \]

Проверка: в каждом примере сначала перемножаются показатели в скобках, затем показатели степеней складываются в числителе и вычитаются показатели знаменателя.