3.6есепты́ жауып тарын тап
Қысқаша жауап
\((2;1), (2;-1), (-2;1), (-2;-1)\)
\((1;1), (1;-1), (-1;1), (-1;-1)\)
\((2;4),\;(-1;-14)\)
\((-2;2),\;(-2;-2),\;(1;\sqrt2),\;(1;-\sqrt2)\)
Шешуі
1)
\(X=x^2,\;Y=y^2\) деп белгілейік:
\[ \begin{cases} 2X+Y=9,\\ X-Y=3. \end{cases} \]
Теңдеулерді қосамыз:
\[ 3X=12 \quad\Rightarrow\quad X=4. \]
Сонда:
\[ Y=1. \]
Демек,
\[ x^2=4\Rightarrow x=\pm2,\qquad y^2=1\Rightarrow y=\pm1. \]
2)
\[ \begin{cases} 2x^2-y^2=1,\\ 2y^2-3x^2+1=0. \end{cases} \]
Екінші теңдеуді түрлендіреміз:
\[ -3x^2+2y^2=-1. \]
Бірінші теңдеуді \(2\)-ге көбейтеміз:
\[ 4x^2-2y^2=2. \]
Енді қосамыз:
\[ x^2=1. \]
Бірінші теңдеуге қойсақ:
\[ 2-y^2=1\Rightarrow y^2=1. \]
Сондықтан:
\[ x=\pm1,\qquad y=\pm1. \]
3)
Теңдеулерді азайтамыз:
\[ (3x^2+xy)-(2x^2+xy)=(x+18)-16. \]
\[ x^2=x+2. \]
\[ x^2-x-2=0, \qquad (x-2)(x+1)=0. \]
Олай болса, \(x=2\) немесе \(x=-1\).
- \(x=2\):
\[ 2\cdot2^2+2y=16 \Rightarrow 8+2y=16 \Rightarrow y=4. \]
- \(x=-1\):
\[ 2\cdot(-1)^2-y=16 \Rightarrow 2-y=16 \Rightarrow y=-14. \]
Жауабы:
\[ (2;4),\quad(-1;-14). \]
4)
Екі теңдеуді қосамыз:
\[ (x^2-3y^2)+(3y^2-2x^2)=(x-6)+4. \]
\[ -x^2=x-2. \]
\[ x^2+x-2=0, \qquad (x+2)(x-1)=0. \]
Сонда \(x=-2\) немесе \(x=1\).
- \(x=-2\):
\[ 3y^2-2\cdot(-2)^2=4 \Rightarrow 3y^2-8=4 \Rightarrow y^2=4, \]
\[ y=\pm2. \]
- \(x=1\):
\[ 3y^2-2=4 \Rightarrow 3y^2=6 \Rightarrow y^2=2, \]
\[ y=\pm\sqrt2. \]
Тексеру кезінде барлық табылған жұптар бастапқы жүйелердің екі теңдеуін де қанағаттандырады.
