Реши задание на изображении

Краткий ответ

3.1. На чётность:

• а) \(f(x)=-3x^4+2{,}5x^2\) — чётная;
• ә) \(f(x)=\cos\dfrac{2x}{3}-4x^2+x\) — ни чётная, ни нечётная;
• б) \(f(x)=5\sin^2x+\dfrac12-x\) — ни чётная, ни нечётная;
• в) \(f(x)=-2{,}5x^6-5\) — чётная.

3.2. На нечётность:

• а) \(f(x)=2x^5-4x^3+1\) — нечётной не является;
• ә) \(f(x)=\sin x-2x^3\) — нечётная;
• б) \(f(x)=\dfrac14x^3\ctg(x^2)\) — нечётная;
• в) \(f(x)=2x|x|-3x-1\) — нечётной не является.

Правило

Функция:

• чётная, если \(f(-x)=f(x)\);
• нечётная, если \(f(-x)=-f(x)\).

3.1

а)

\[ f(-x)=-3(-x)^4+2{,}5(-x)^2 =-3x^4+2{,}5x^2=f(x). \]

Функция чётная.

ә)

\[ f(-x)=\cos\left(-\frac{2x}{3}\right)-4x^2-x =\cos\frac{2x}{3}-4x^2-x. \]

Это не равно \(f(x)\), поэтому функция не чётная. Кроме того, \(f(0)=1\ne0\), значит, она не нечётная.

б)

Так как \(\sin(-x)=-\sin x\), то

\[ \sin^2(-x)=\sin^2x. \]

Следовательно,

\[ f(-x)=5\sin^2x+\frac12+x. \]

Это не равно \(f(x)\), а \(f(0)=\frac12\ne0\). Функция ни чётная, ни нечётная.

в)

\[ f(-x)=-2{,}5(-x)^6-5 =-2{,}5x^6-5=f(x). \]

Функция чётная.

3.2

а)

\[ f(-x)=-2x^5+4x^3+1, \]

а

\[ -f(x)=-2x^5+4x^3-1. \]

Выражения не равны из-за постоянного слагаемого \(1\). Функция не нечётная.

ә)

\[ f(-x)=\sin(-x)-2(-x)^3 =-\sin x+2x^3 =-(\sin x-2x^3). \]

Значит, функция нечётная.

б)

Область определения симметрична относительно нуля. При замене \(x\) на \(-x\):

\[ \begin{aligned} f(-x) &=\frac14(-x)^3\ctg\bigl((-x)^2\bigr)\\ &=-\frac14x^3\ctg(x^2)\\ &=-f(x). \end{aligned} \]

Функция нечётная.

в)

\[ \begin{aligned} f(-x) &=2(-x)|-x|-3(-x)-1\\ &=-2x|x|+3x-1. \end{aligned} \]

Но

\[ -f(x)=-2x|x|+3x+1. \]

Равенства нет, поэтому функция не нечётная.