Конспект «Всё о дробях» — 5 класс

Кратко

Дробь имеет вид:

\[ \frac{a}{b}, \qquad b\ne0 \]

• \(a\) — числитель, показывает, сколько частей взяли.
• \(b\) — знаменатель, показывает, на сколько равных частей разделили целое.

Главные правила:

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n} \]

\[ \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c} \]

\[ \frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c} \]

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю.

---

1. Что такое дробь

Если яблоко разделили на 4 равные части и взяли 3 части, получили дробь:

\[ \frac34 \]

• 4 — знаменатель: яблоко разделили на 4 части;
• 3 — числитель: взяли 3 части.

Дробная черта означает деление:

\[ \frac{7}{3}=7:3 \]

---

2. Виды дробей

Правильная дробь

Числитель меньше знаменателя:

\[ \frac25,\quad \frac78 \]

Правильная дробь меньше единицы:

\[ \frac25<1 \]

Неправильная дробь

Числитель больше или равен знаменателю:

\[ \frac73,\quad \frac55 \]

Неправильная дробь больше или равна единице.

Смешанное число

Состоит из целой и дробной частей:

\[ 2\frac13 \]

Это означает: \(2\) целых и ещё \(\frac13\).

---

3. Перевод смешанного числа в неправильную дробь

Чтобы превратить смешанное число в неправильную дробь:

1. Целую часть умножить на знаменатель.
2. Прибавить числитель.
3. Результат записать в числителе, знаменатель оставить прежним.

Пример:

\[ 2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5}=\frac{13}{5} \]

Перевод неправильной дроби в смешанное число

Нужно разделить числитель на знаменатель:

\[ \frac{17}{5}=3\frac25 \]

Потому что:

\[ 17:5=3\text{ и }2\text{ в остатке} \]

---

4. Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится:

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n} \]

Например:

\[ \frac35=\frac{3\cdot2}{5\cdot2}=\frac6{10} \]

Сокращение дроби

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на общий делитель:

\[ \frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac34 \]

Дробь \(\frac34\) уже нельзя сократить, поэтому она называется несократимой.

---

5. Сравнение дробей

Одинаковые знаменатели

Больше та дробь, у которой больше числитель:

\[ \frac59>\frac29 \]

Одинаковые числители

Больше та дробь, у которой меньше знаменатель:

\[ \frac35>\frac38 \]

Пять одинаковых частей больше, если целое разделили на меньшее количество частей.

Разные знаменатели

Нужно привести дроби к общему знаменателю.

Пример:

\[ \frac34 \quad \text{и} \quad \frac56 \]

Общий знаменатель — \(12\):

\[ \frac34=\frac9{12}, \qquad \frac56=\frac{10}{12} \]

Значит:

\[ \frac34<\frac56 \]

Для положительных дробей можно использовать перекрёстное умножение:

\[ \frac ab \quad \text{и} \quad \frac cd \]

сравниваем \(a\cdot d\) и \(c\cdot b\).

---

6. Сложение и вычитание дробей

Одинаковые знаменатели

Знаменатель оставляем прежним, а числители складываем или вычитаем:

\[ \frac29+\frac49=\frac{2+4}{9}=\frac69=\frac23 \]

\[ \frac78-\frac38=\frac{7-3}{8}=\frac48=\frac12 \]

Нельзя складывать знаменатели:

\[ \frac25+\frac15\ne\frac3{10} \]

Разные знаменатели

1. Найти общий знаменатель.
2. Привести дроби к нему.
3. Сложить или вычесть числители.
4. Сократить результат.

Пример:

\[ \frac23+\frac5{12} \]

Общий знаменатель — \(12\):

\[ \frac23=\frac8{12} \]

Тогда:

\[ \frac8{12}+\frac5{12}=\frac{13}{12}=1\frac1{12} \]

---

7. Действия со смешанными числами

Проще всего сначала перевести смешанные числа в неправильные дроби.

Пример:

\[ 1\frac12+2\frac23 \]

\[ 1\frac12=\frac32,\qquad 2\frac23=\frac83 \]

\[ \frac32+\frac83=\frac9{6}+\frac{16}{6} =\frac{25}{6}=4\frac16 \]

При вычитании иногда нужно занять одну целую:

\[ 4\frac15-2\frac35 \]

Так как \(\frac15<\frac35\), занимаем одну целую:

\[ 4\frac15=3\frac65 \]

Теперь:

\[ 3\frac65-2\frac35=1\frac35 \]

---

8. Дробь от числа и число по его дроби

Найти дробь от числа

Чтобы найти \(\frac ab\) от числа \(N\), нужно:

\[ N\cdot\frac ab \]

Пример: найти \(\frac35\) от \(40\):

\[ 40\cdot\frac35=8\cdot3=24 \]

Найти целое число по его дроби

Если \(\frac35\) числа равны \(24\), то всё число находится так:

\[ 24:\frac35=24\cdot\frac53=40 \]

Ответ: \(40\).

---

9. Десятичные дроби

Десятичная дробь имеет знаменатель \(10\), \(100\), \(1000\) и записывается с запятой:

\[ \frac7{10}=0{,}7 \]

\[ \frac{35}{100}=0{,}35 \]

\[ \frac14=\frac{25}{100}=0{,}25 \]

Нули в конце десятичной дроби можно добавлять или убирать:

\[ 0{,}7=0{,}70=0{,}700 \]

Сравнение десятичных дробей

Уравниваем количество знаков после запятой:

\[ 0{,}7=0{,}70 \]

\[ 0{,}70>0{,}65 \]

Сложение и вычитание

Запятые должны находиться друг под другом:

\[ \begin{array}{r} 3{,}50\\ + 1{,}27\\ \hline 4{,}77 \end{array} \]

Умножение на \(10\), \(100\), \(1000\)

Запятая переносится вправо:

\[ 2{,}34\cdot10=23{,}4 \]

\[ 2{,}34\cdot100=234 \]

Деление на \(10\), \(100\), \(1000\)

Запятая переносится влево:

\[ 56{,}7:10=5{,}67 \]

\[ 56{,}7:100=0{,}567 \]

---

10. Умножение и деление обыкновенных дробей

Эти темы в некоторых программах подробно изучают в 6 классе, но правила полезно знать.

Умножение дробей

Числители перемножают, знаменатели перемножают:

\[ \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd} \]

Пример:

\[ \frac34\cdot\frac89=\frac{24}{36}=\frac23 \]

Можно сокращать дроби до умножения.

Деление дробей

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную дробь:

\[ \frac ab:\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc \]

Пример:

\[ \frac35:\frac9{10} =\frac35\cdot\frac{10}{9} =\frac23 \]

---

11. Порядок действий

1. Действия в скобках.
2. Умножение и деление.
3. Сложение и вычитание.

Если действия одинакового приоритета, выполняем их слева направо.

---

12. Как проверить ответ

• Правильная дробь должна быть меньше \(1\).
• Неправильную дробь можно перевести в смешанное число.
• При сложении положительных дробей результат должен быть больше каждого слагаемого.
• При вычитании результат должен быть меньше уменьшаемого.
• Сложение можно проверить вычитанием.

Например:

\[ \frac23+\frac5{12}=\frac{13}{12} \]

Проверка:

\[ \frac{13}{12}-\frac5{12} =\frac8{12} =\frac23 \]

Значит, вычисление выполнено верно.

Частые ошибки

1. Складывать знаменатели: \[ \frac12+\frac13\ne\frac25 \]

2. Забывать приводить дроби к общему знаменателю.

3. Не сокращать ответ.

4. При переводе смешанного числа забывать прибавить числитель:

\[ 2\frac35=\frac{2\cdot5+3}{5},\quad \text{а не } \frac{10}{5} \]

5. При сложении десятичных дробей не выравнивать запятые.