Реши задание на изображении
Краткий ответ
- 371: в обоих случаях \(ABCD\) — параллелограмм.
- 372:
а) \(10{,}5\) см и \(13{,}5\) см;
б) \(8{,}5\) см и \(15{,}5\) см;
в) \(8\) см и \(16\) см. - 373: \(AB=CD=12\) см, \(BC=AD=13\) см.
371. Доказательство
а)
По условию:
\[ \angle BAC=\angle ACD. \]
Это накрест лежащие углы при прямых \(AB\) и \(CD\), поэтому
\[ AB\parallel CD. \]
Также
\[ \angle BCA=\angle DAC, \]
значит,
\[ BC\parallel AD. \]
У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, \(ABCD\) — параллелограмм.
б)
Так как \(AB\parallel CD\), то внутренние односторонние углы:
\[ \angle A+\angle D=180^\circ. \]
По условию \(\angle A=\angle C\), значит:
\[ \angle C+\angle D=180^\circ. \]
Это внутренние односторонние углы при прямых \(BC\) и \(AD\), поэтому
\[ BC\parallel AD. \]
Получаем две пары параллельных противоположных сторон, значит, \(ABCD\) — параллелограмм.
372. Решение
Для параллелограмма:
\[ P=2(a+b). \]
Так как \(P=48\) см, то
\[ a+b=24. \]
а) Пусть меньшая сторона \(x\) см, тогда большая — \(x+3\) см:
\[ x+(x+3)=24, \] \[ 2x=21,\qquad x=10{,}5. \]
Большая сторона:
\[ 10{,}5+3=13{,}5\text{ см}. \]
Ответ: \(10{,}5\) см и \(13{,}5\) см.
б) Пусть большая сторона \(x\), меньшая \(y\):
\[ x+y=24,\qquad x-y=7. \]
Складываем уравнения:
\[ 2x=31,\qquad x=15{,}5. \]
Тогда
\[ y=24-15{,}5=8{,}5. \]
Ответ: \(8{,}5\) см и \(15{,}5\) см.
в) Пусть меньшая сторона \(x\), тогда большая — \(2x\):
\[ x+2x=24, \] \[ 3x=24,\qquad x=8. \]
Большая сторона:
\[ 2\cdot8=16\text{ см}. \]
Ответ: \(8\) см и \(16\) см.
373. Решение
В прямоугольном треугольнике \(BCH\):
\[ \sin 30^\circ=\frac{BH}{BC}. \]
Так как \(BH=6{,}5\) см и \(\sin30^\circ=\frac12\), получаем:
\[ \frac12=\frac{6{,}5}{BC}, \] \[ BC=13\text{ см}. \]
Периметр параллелограмма:
\[ 2(AB+BC)=50, \]
поэтому
\[ AB+BC=25. \]
Тогда
\[ AB=25-13=12\text{ см}. \]
Противоположные стороны параллелограмма равны:
\[ \boxed{AB=CD=12\text{ см},\quad BC=AD=13\text{ см}}. \]
Проверка:
\[ 2(12+13)=50\text{ см},\qquad 13\cdot\sin30^\circ=6{,}5\text{ см}. \]
