Тест по предмету «Алгебра» на тему «неравенство Маркова»

1. Пусть \(X\) — неотрицательная случайная величина, \(a>0\). Выберите все верные утверждения о неравенстве Маркова.

   A) Неотрицательность \(X\) — стандартное условие применения неравенства Маркова.
   B) \(\mathsf P(X\ge a)\le \dfrac{\mathsf E(X)}{a}\).
   C) Неравенство Маркова даёт нижнюю оценку вероятности \(\mathsf P(X\ge a)\).
   D) Для любой неотрицательной случайной величины в неравенстве Маркова всегда достигается равенство.

2. Пусть \(X\ge0\) и \(\mathsf E(X)=12\). Выберите все варианты, в которых правая часть стандартной оценки Маркова вычислена верно.

   A) При \(a=24\): \(\mathsf P(X\ge24)\le\dfrac12\).
   B) При \(a=36\): \(\mathsf P(X\ge36)\le\dfrac13\).
   C) При \(a=48\): \(\mathsf P(X\ge48)\le\dfrac14\).
   D) При \(a=18\): \(\mathsf P(X\ge18)\le\dfrac13\).

3. Пусть \(Y\) — произвольная вещественная случайная величина, \(\mathsf E(Y^2)<\infty\), \(a>0\). Выберите все корректные применения неравенства Маркова.

   A) \(\mathsf P(|Y|\ge a)\le\dfrac{\mathsf E(Y^2)}{a^2}\).
   B) \(\mathsf P(|Y|\ge a)\le\dfrac{\mathsf E(|Y|)}{a}\).
   C) \(\mathsf P(Y\ge a)\le\dfrac{\mathsf E(Y)}{a}\) для любой вещественной случайной величины \(Y\).
   D) \(\mathsf P(Y^2\ge a)\le\dfrac{\mathsf E(Y^2)}{a}\).

4. Пусть \(X\ge0\) и \(\mathsf E(X)=6\). Выберите все утверждения, которые гарантированно следуют из неравенства Маркова.

   A) \(\mathsf P(X\ge24)\le\dfrac14\).
   B) \(\mathsf P(X<24)\ge\dfrac34\).
   C) \(\mathsf P(X\ge12)\le\dfrac14\).
   D) \(\mathsf P(X<6)\ge\dfrac12\).

5. Пусть \(X\ge0\) и \(\mathsf E(X)=15\). Для каких значений порога \(a\) неравенство Маркова гарантирует \(\mathsf P(X\ge a)\le0{,}3\)? Выберите все подходящие варианты.

   A) \(a=50\)
   B) \(a=60\)
   C) \(a=40\)
   D) \(a=30\)

Ответы

1. A, B
2. A, B, C
3. A, B, D
4. A, B
5. A, B