Краткий ответ

Для 1-го задания ЕГЭ по физике по кинематике нужно уметь:

1. различать координату, путь и перемещение;
2. находить скорость и ускорение;
3. применять формулы равномерного и равноускоренного движения;
4. читать графики \(x(t)\), \(v(t)\), \(a(t)\);
5. решать задачи на свободное падение и бросок;
6. понимать движение по окружности и относительное движение;
7. правильно выбирать направление оси и ставить знаки.

Главная идея: наклон графика показывает скорость или ускорение, а площадь под графиком скорости показывает перемещение.

---

1. Основные величины

Координата

\[ x \]

Показывает положение тела на выбранной оси.

Перемещение

\[ \Delta x=x_2-x_1 \]

Это изменение координаты. Перемещение может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Путь

\[ s \]

Длина траектории, пройденная телом. Путь всегда неотрицателен.

Важно:

\[ s\geq |\Delta x| \]

Если тело всё время движется в одном направлении, то:

\[ s=|\Delta x| \]

Если тело развернулось, путь и перемещение различаются.

Скорость

Средняя скорость:

\[ v_{\text{ср}}=\frac{s}{t} \]

Средняя скорость как векторная величина по оси:

\[ v_{x,\text{ср}}=\frac{\Delta x}{t} \]

Мгновенная скорость показывает, насколько быстро меняется координата:

\[ v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t} \]

На графике \(x(t)\) скорость определяется наклоном графика.

Ускорение

\[ a_x=\frac{\Delta v_x}{\Delta t} \]

Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость.

---

2. Знаки и единицы измерения

Перед решением выбери положительное направление оси.

Например, если ось направлена вправо:

• движение вправо: \(v>0\);
• движение влево: \(v<0\);
• ускорение вправо: \(a>0\);
• ускорение влево: \(a<0\).

Отрицательная скорость не означает «отрицательную быстроту». Она означает движение в противоположную сторону.

Основные единицы:

\[ [x]=\text{м},\qquad [t]=\text{с},\qquad [v]=\text{м/с},\qquad [a]=\text{м/с}^2 \]

Перевод скорости:

\[ 1\ \text{м/с}=3{,}6\ \text{км/ч} \]

\[ 1\ \text{км/ч}=\frac{5}{18}\ \text{м/с} \]

---

3. Равномерное движение

При равномерном движении скорость постоянна:

\[ v=\text{const},\qquad a=0 \]

Закон движения:

\[ x=x_0+v_xt \]

Перемещение:

\[ \Delta x=v_xt \]

Если тело движется в одном направлении, путь:

\[ s=vt \]

Графики:

• \(x(t)\) — прямая линия;
• \(v(t)\) — горизонтальная прямая;
• \(a(t)=0\).

---

4. Равноускоренное движение

При равноускоренном движении ускорение постоянно:

\[ a=\text{const} \]

Основные формулы:

\[ v=v_0+at \]

\[ \Delta x=v_0t+\frac{at^2}{2} \]

\[ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2} \]

\[ \Delta x=\frac{v_0+v}{2}\,t \]

\[ v^2-v_0^2=2a\Delta x \]

Средняя скорость при постоянном ускорении:

\[ v_{\text{ср}}=\frac{v_0+v}{2} \]

Последняя формула применима именно при постоянном ускорении. Для произвольного движения нельзя просто складывать начальную и конечную скорости и делить на два.

Как понять, ускоряется тело или замедляется?

• \(v\) и \(a\) одного знака — скорость по модулю увеличивается;
• \(v\) и \(a\) разных знаков — скорость по модулю уменьшается.

Например:

\[ v>0,\ a>0 \]

Тело движется вправо и разгоняется.

\[ v>0,\ a<0 \]

Тело движется вправо, но замедляется.

---

5. Графики

График координаты \(x(t)\)

Наклон графика показывает скорость:

\[ v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t} \]

• горизонтальная линия — тело покоится;
• прямая с положительным наклоном — движение в положительном направлении;
• прямая с отрицательным наклоном — движение в отрицательном направлении;
• чем больше наклон по модулю, тем больше скорость.

Если график криволинейный, мгновенная скорость определяется наклоном касательной.

Не путай:

\[ \frac{x}{t} \]

и

\[ \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

Первое не всегда является скоростью. Правильно использовать изменение координаты.

График скорости \(v(t)\)

Наклон графика показывает ускорение:

\[ a=\frac{\Delta v}{\Delta t} \]

Площадь под графиком показывает перемещение:

\[ \Delta x=S_{v(t)} \]

Если график находится ниже оси времени, площадь считается отрицательной.

Если нужно найти путь, площади берутся по модулю:

\[ s=S_1+S_2+\ldots \]

Пример

Скорость линейно увеличилась от \(2\) до \(6\ \text{м/с}\) за \(4\) с.

Ускорение:

\[ a=\frac{6-2}{4}=1\ \text{м/с}^2 \]

Перемещение равно площади трапеции:

\[ \Delta x=\frac{2+6}{2}\cdot4=16\ \text{м} \]

График ускорения \(a(t)\)

Площадь под графиком ускорения показывает изменение скорости:

\[ \Delta v=v-v_0 \]

При постоянном ускорении:

\[ \Delta v=at \]

---

6. Свободное падение

Свободное падение — движение под действием силы тяжести без учёта сопротивления воздуха.

\[ g\approx 9{,}8\ \text{м/с}^2 \]

В школьных задачах часто используют:

\[ g\approx10\ \text{м/с}^2 \]

Падение без начальной скорости

Если тело отпустили с высоты:

\[ v_0=0 \]

то:

\[ h=\frac{gt^2}{2} \]

\[ v=gt \]

\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

\[ v=\sqrt{2gh} \]

Пример

Тело падает с высоты \(20\) м, \(g=10\ \text{м/с}^2\).

\[ 20=\frac{10t^2}{2} \]

\[ t^2=4,\qquad t=2\ \text{с} \]

Скорость перед ударом:

\[ v=gt=10\cdot2=20\ \text{м/с} \]

Бросок вверх

Если ось направлена вверх:

\[ y=y_0+v_0t-\frac{gt^2}{2} \]

\[ v=v_0-gt \]

В верхней точке:

\[ v=0 \]

Время подъёма:

\[ t_{\text{подъёма}}=\frac{v_0}{g} \]

Максимальная высота подъёма над точкой броска:

\[ h_{\max}=\frac{v_0^2}{2g} \]

Если тело вернулось на ту же высоту:

\[ t_{\text{полёта}}=\frac{2v_0}{g} \]

---

7. Горизонтальный и наклонный бросок

Движение по горизонтали и вертикали рассматривают отдельно.

Для тела, брошенного под углом \(\alpha\):

\[ v_{0x}=v_0\cos\alpha \]

\[ v_{0y}=v_0\sin\alpha \]

По горизонтали:

\[ x=v_{0x}t \]

По вертикали:

\[ y=v_{0y}t-\frac{gt^2}{2} \]

Горизонтальная скорость постоянна:

\[ v_x=v_{0x} \]

Вертикальная скорость изменяется:

\[ v_y=v_{0y}-gt \]

Для горизонтального броска с высоты \(h\):

\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

\[ L=v_0t=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

где \(L\) — дальность полёта по горизонтали.

---

8. Движение по окружности

При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но направление скорости меняется. Поэтому ускорение есть.

Период:

\[ T=\frac{t}{N} \]

Частота:

\[ \nu=\frac{N}{t}=\frac{1}{T} \]

Угловая скорость:

\[ \omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu \]

Линейная скорость:

\[ v=\omega R=\frac{2\pi R}{T} \]

Центростремительное ускорение:

\[ a_{\text{ц}}=\frac{v^2}{R} \]

или

\[ a_{\text{ц}}=\omega^2R \]

Оно всегда направлено к центру окружности.

---

9. Относительное движение

Скорость первого тела относительно второго:

\[ \vec v_{1/2}=\vec v_1-\vec v_2 \]

Если тела движутся навстречу друг другу:

\[ v_{\text{сближения}}=v_1+v_2 \]

Если движутся в одну сторону:

\[ v_{\text{сближения}}=|v_1-v_2| \]

Например, время встречи двух тел, движущихся навстречу:

\[ t=\frac{L}{v_1+v_2} \]

где \(L\) — начальное расстояние между ними.

---

10. Алгоритм решения задания

1. Выпиши все данные и переведи их в СИ.
2. Нарисуй ось и выбери положительное направление.
3. Определи вид движения:
   • \(a=0\) — равномерное;
   • \(a=\text{const}\) — равноускоренное;
   • свободное падение — \(a=g\);
   • окружность — \(a_{\text{ц}}=v^2/R\).
4. Если дан график:
   • наклон \(x(t)\) — скорость;
   • наклон \(v(t)\) — ускорение;
   • площадь под \(v(t)\) — перемещение;
   • площадь под \(a(t)\) — изменение скорости.
5. Подставь величины в подходящую формулу.
6. Проверь единицы и знак ответа.

Самые частые ошибки

• путать путь и перемещение;
• считать площадь под \(v(t)\) путём, хотя график имеет отрицательную часть;
• забывать начальную скорость при броске;
• использовать \(g=10\) без единиц;
• считать, что при движении по окружности ускорения нет;
• применять \(\frac{v_0+v}{2}\) при любом движении;
• не переводить километры в метры и часы в секунды.

Главная формульная тройка

\[ \boxed{v=v_0+at} \]

\[ \boxed{\Delta x=v_0t+\frac{at^2}{2}} \]

\[ \boxed{v^2-v_0^2=2a\Delta x} \]

А для графиков запомни:

\[ \boxed{\text{наклон }x(t)=v} \]

\[ \boxed{\text{наклон }v(t)=a} \]

\[ \boxed{\text{площадь под }v(t)=\Delta x} \]