Реши задание на изображении
Вычисление геометрического расстояния
Я рассматриваю сумму геометрических расстояний, в частности расстояние между точками -5 и 2. Итак, разберём это: расстояние вычисляется вычитанием -5 из 2, что даёт 7. Значит, это расстояние между двумя точками. Определённо, можно рассмотреть больше деталей, например, как это применяется в разных контекстах или для других точек, но пока я сосредоточусь на этом конкретном вычислении. Это просто, но важно!
Решение уравнений с абсолютными величинами
Я решаю уравнение, начиная с \(x² - 3x - 4 = -5\). Я упрощаю его до \(x² - 3x + 1 = 0\), вычисляю дискриминант и нахожу корни с помощью формулы для решения квадратного уравнения. Я проверяю свойство абсолютной величины для разных случаев, используя \(|A| = |B|\), чтобы найти два значения \(x\): 4 и 3/2.
Затем я рассматриваю другое уравнение, содержащее \(|x² - 25|\), и начинаю его разлагать на множители. Я анализирую несколько случаев, проверяя свои результаты, чтобы убедиться, что все они верны. Наконец, я решаю уравнение с абсолютными величинами, тщательно проверяя допустимость каждого решения.
Проверка корней уравнения
Я решаю уравнение \(x + 4 = 3x - 2\) и получил \(x = 3\). Всё выглядит верно, поскольку при проверке \(|7|=7\) правая часть также равна 7. Следует отметить, что второго корня нет, поскольку при рассмотрении \(x = -1/2\) правая часть становится отрицательной. Поэтому в нашем случае мы используем только положительную ветвь с \(x + 4\).
Решение уравнения
Я решаю уравнение \(|x^2-25|=|x-5|\). Сначала я переписываю его в виде \(|(x-5)(x+5)|=|x-5|\). Это приводит к \(|x-5| |x+5|=|x-5|\).
Теперь нужно быть осторожным с равенством: если \(a*b=a\), где \(a=|x-5|\) и \(b=|x+5|\), то \(a(b-1)=0\). Отсюда получаем либо \(x=5\), либо \(|x+5|=1\), что даёт \(x=-4\) или \(x=-6\). Я проверю все эти решения.
План структуры ответа
Я стараюсь внимательно выстроить структуру ответа. Сначала я дам краткий ответ, затем приведу основные правила или аргументы и, если необходимо, проверю результаты. Кажется, это ясный и организованный подход, поэтому я начну с «Краткий ответ», затем перейду к «Ключевые правила» и наконец к «Решение и проверка». Отлично, теперь можно это представить!
Краткий ответ
- \(x=-3;\ 8\)
- \(x=3\)
- \(x=-6;\ 3\)
- \(x=\dfrac{3-3\sqrt5}{2},\ \dfrac{3+3\sqrt5}{2},\ \dfrac{3-\sqrt5}{2},\ \dfrac{3+\sqrt5}{2}\)
- \(x=\dfrac32;\ 4\)
- \(x=-6;\ -4;\ 5\)
- \(x=-5;\ 7\)
- \(x=-1;\ 7\)
Основные правила
\[ |A|=b \quad \Longrightarrow \quad A=b\ \text{или}\ A=-b,\qquad b\ge 0. \]
\[ |A|=|B| \quad \Longrightarrow \quad A=B\ \text{или}\ A=-B. \]
Решение
1. \(\left|2x-5\right|=11\)
\[ 2x-5=11 \quad \text{или} \quad 2x-5=-11. \]
\[ x=8 \quad \text{или} \quad x=-3. \]
Проверка: при обоих корнях выражение \(2x-5\) равно \(11\) или \(-11\), поэтому модуль равен \(11\).
2. \(\left|x+4\right|=3x-2\)
Правая часть не может быть отрицательной:
\[ 3x-2\ge 0 \quad \Longrightarrow \quad x\ge \frac23. \]
Тогда \(x+4>0\), значит:
\[ x+4=3x-2, \]
\[ 2x=6,\qquad x=3. \]
Проверка:
\[ |3+4|=7,\qquad 3\cdot3-2=7. \]
3. \(\left|x-2\right|+\left|x+5\right|=9\)
Точки смены знака: \(x=-5\) и \(x=2\).
1) \(x<-5\):
\[ |x-2|=2-x,\qquad |x+5|=-x-5. \]
\[ 2-x-x-5=9, \]
\[ -2x=12,\qquad x=-6. \]
Корень подходит.
2) \(-5\le x\le2\):
\[ |x-2|+|x+5|=2-x+x+5=7\ne9. \]
Корней нет.
3) \(x>2\):
\[ |x-2|=x-2,\qquad |x+5|=x+5. \]
\[ x-2+x+5=9, \]
\[ 2x=6,\qquad x=3. \]
Проверка:
\[ |-6-2|+|-6+5|=8+1=9, \]
\[ |3-2|+|3+5|=1+8=9. \]
4. \(\left|x^2-3x-4\right|=5\)
Рассмотрим два случая:
\[ x^2-3x-4=5 \]
или
\[ x^2-3x-4=-5. \]
Первый случай:
\[ x^2-3x-9=0. \]
\[ D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-9)=45. \]
\[ x=\frac{3\pm\sqrt{45}}2 =\frac{3\pm3\sqrt5}{2}. \]
Второй случай:
\[ x^2-3x+1=0. \]
\[ D=9-4=5. \]
\[ x=\frac{3\pm\sqrt5}{2}. \]
Все четыре найденных значения дают модуль, равный \(5\).
5. \(\left|x+1\right|=\left|3x-7\right|\)
Используем правило \(|A|=|B|\):
\[ x+1=3x-7 \]
или
\[ x+1=-(3x-7). \]
Первый случай:
\[ 2x=8,\qquad x=4. \]
Второй случай:
\[ x+1=-3x+7, \]
\[ 4x=6,\qquad x=\frac32. \]
Проверка:
- при \(x=4\): оба модуля равны \(5\);
- при \(x=\frac32\): оба модуля равны \(\frac52\).
6. \(\left|x^2-25\right|=\left|x-5\right|\)
Разложим разность квадратов:
\[ x^2-25=(x-5)(x+5). \]
Тогда
\[ |x-5|\,|x+5|=|x-5|. \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ |x-5|\bigl(|x+5|-1\bigr)=0. \]
Отсюда:
\[ |x-5|=0 \quad \Longrightarrow \quad x=5, \]
или
\[ |x+5|=1. \]
\[ x+5=1 \quad \text{или} \quad x+5=-1, \]
\[ x=-4 \quad \text{или} \quad x=-6. \]
Проверка:
\[ x=-6:\quad |36-25|=|-11|=11; \]
\[ x=-4:\quad |-16-25|=|-9|=9; \]
\[ x=5:\quad |25-25|=|0|=0. \]
7. \(\left|\left|x-1\right|-2\right|=4\)
Обозначим:
\[ y=|x-1|,\qquad y\ge0. \]
Тогда:
\[ |y-2|=4. \]
\[ y-2=4 \quad \text{или} \quad y-2=-4. \]
\[ y=6 \quad \text{или} \quad y=-2. \]
Значение \(y=-2\) невозможно, поэтому:
\[ |x-1|=6. \]
\[ x-1=6 \quad \text{или} \quad x-1=-6. \]
\[ x=7 \quad \text{или} \quad x=-5. \]
Проверка: в обоих случаях внутренний модуль равен \(6\), поэтому \(|6-2|=4\).
8. \(\left|x\right|+\left|x-6\right|=8\)
Точки смены знака: \(0\) и \(6\).
1) \(x<0\):
\[ |x|=-x,\qquad |x-6|=6-x. \]
\[ -x+6-x=8, \]
\[ -2x=2,\qquad x=-1. \]
2) \(0\le x\le6\):
\[ x+6-x=6\ne8. \]
Корней нет.
3) \(x>6\):
\[ x+x-6=8, \]
\[ 2x=14,\qquad x=7. \]
Проверка:
\[ |-1|+|-1-6|=1+7=8, \]
\[ |7|+|7-6|=7+1=8. \]
