Найдите сумму корней биквадратного уравнения
Ответ: \(0\).
По фото уравнение: \[ x^4+3x^2-10=0. \]
Сделаем замену: \[ t=x^2. \] Тогда: \[ t^2+3t-10=0, \] \[ (t+5)(t-2)=0. \]
Получаем: \[ t=2 \quad \text{или} \quad t=-5. \]
Так как \(t=x^2\ge 0\), берём только \(t=2\): \[ x^2=2 \quad\Rightarrow\quad x_1=\sqrt2,\quad x_2=-\sqrt2. \]
Сумма корней: \[ x_1+x_2=\sqrt2-\sqrt2=\boxed{0}. \]
Проверка: \[ (\sqrt2)^4+3(\sqrt2)^2-10=4+6-10=0. \]
Обсуждение
9 сообщенийЭто продолжение текущей учебной цели: на изображении следующий пример биквадратного уравнения, для которого нужно найти сумму корней.
Да
Хорошо. Пришлите изображение ещё раз или перепишите уравнение текстом — условие следующего примера сейчас не видно.
4х⁴-12х²+1=0
Решим уравнение: \[ 4x^4-12x^2+1=0. \]
Сделаем замену: \[ t=x^2. \] Тогда: \[ 4t^2-12t+1=0. \]
Находим \(t\): \[ t_{1,2}=\frac{12\pm\sqrt{128}}{8} =\frac{3\pm2\sqrt2}{2}. \]
Оба значения положительны, поэтому каждому соответствуют два противоположных корня: \[ x=\pm\sqrt{t_1},\qquad x=\pm\sqrt{t_2}. \]
Корни попарно уничтожаются при сложении: \[ \boxed{x_1+x_2+x_3+x_4=0}. \]
12у⁴-у²-1=0
Решим уравнение: \[ 12y^4-y^2-1=0. \]
Сделаем замену: \[ t=y^2. \] Тогда: \[ 12t^2-t-1=0. \]
Дискриминант: \[ D=(-1)^2-4\cdot12\cdot(-1)=49. \]
\[ t_{1,2}=\frac{1\pm7}{24}. \]
Получаем: \[ t_1=\frac13,\qquad t_2=-\frac14. \]
Действительный корень возможен только при \(t_1\): \[ y^2=\frac13 \quad\Rightarrow\quad y_1=\frac1{\sqrt3},\quad y_2=-\frac1{\sqrt3}. \]
Сумма корней: \[ \boxed{0}. \]
