Реши задание на изображении
Вычисление выражений и значений
Я выполняю вычисления с различными значениями \(x\) для выражения \((x+5)/(x-3)\). Я проверю, что \(a=1\frac{1}{2}\) выполняется, и точно вычислю значение для каждого \(x\):
- При \(x=-13\) результат равен \(1/2\).
- При \(x=-5\) результат равен \(0\).
- При \(x=-0.2\) получается \(-1.5\).
- При \(x=0\) результат равен \(-5/3\).
- При \(x=1/17\) получается примерно \(-1.72\).
- При \(x=1\) результат равен \(-3\).
- Наконец, при \(x=5\frac{2}{3}\) результат равен \(4\).
Я обобщу эти результаты и добавлю ключевые шаги для ясности, как попросил пользователь.
Объяснение числовых знаменателей
Я рассматриваю выражение \(\frac{a}{9}\), которое считаю целым, поскольку оно имеет числовой знаменатель. Необходимо дополнительно прояснить этот момент, объяснив, как числовой знаменатель задаёт определённое значение или целое число. Я обязательно соблюду инструкции разработчика относительно добавления заключительной строки, если это покажется уместным для дальнейших шагов содержательного обсуждения. Поэтому после объяснения я добавлю эту заключительную строку, как было указано.
Рассмотрение особенностей математического выражения
Я размышляю об одном нюансе российской школьной математики. Похоже, целым выражением считается выражение, не содержащее деления на выражение с переменными в знаменателе. Это различие интересно, поскольку оно формирует представление учащихся о том, что считается целым выражением. Возможно, полезно рассмотреть, как это связано с более широкими математическими понятиями и процессом обучения учащихся в этой системе.
Краткий ответ
1.
Целые выражения:
\[
\frac13a^2b,\quad (x-y)^2-4xy,\quad \frac{a^2-2ab}{12}.
\]
Дробные выражения: \[ \frac{m+3}{m-3},\quad \frac8{x^2+y^2},\quad (c+3)^2+\frac2c. \]
2.
а) Целые:
\[
7x^2-2xy,\quad \frac a9,\quad \frac14m^2-\frac13n^2.
\]
б) Дробные: \[ \frac{12}{b},\quad a(a-b)-\frac b{3a},\quad \frac a{a+3}-8. \]
3. \[ \begin{array}{c|cccccc} y&3&1&-5&\frac12&-1{,}6&100\\ \hline \dfrac{y-1}{y}&\frac23&0&\frac65&-1&\frac{13}{8}&\frac{99}{100} \end{array} \]
4.
а) \(-10\); б) \(\frac52\); в) \(-\frac{31}{2}\); г) \(4\).
5.
а) \(\frac32\); б) \(\frac{12}{13}\).
6.
\[ \begin{array}{c|cccccccc} x&-13&-5&-0{,}2&0&\frac1{17}&1&5\frac23&7\\ \hline \dfrac{x+5}{x-3} &\frac12&0&-\frac32&-\frac53&-\frac{43}{25}&-3&4&3 \end{array} \]
Ключевые шаги и объяснение
1–2. Как отличать целые и дробные выражения
Выражение считается целым, если переменная не стоит в знаменателе. Числовые знаменатели допустимы:
\[ \frac a9,\qquad \frac13a^2b,\qquad \frac14m^2. \]
Выражение считается дробным, если в знаменателе находится выражение с переменной:
\[ \frac{12}{b},\qquad \frac{m+3}{m-3},\qquad \frac a{a+3}. \]
3. Подстановка значения
Используем: \[ \frac{y-1}{y}=1-\frac1y. \]
Например, при \(y=-1{,}6=-\frac85\): \[ \frac{y-1}{y} =\frac{-\frac85-1}{-\frac85} =\frac{-\frac{13}{5}}{-\frac85} =\frac{13}{8}. \]
4. Подставляем число вместо переменной
Например, пункт в): \[ x+\frac8{x-1} =\frac12+\frac8{\frac12-1} =\frac12+\frac8{-\frac12} =\frac12-16 =-\frac{31}{2}. \]
В пункте г): \[ \frac{1{,}5+3}{1{,}5}-\frac{1{,}5}{1{,}5-3} =3-(-1)=4. \]
5. Вычисление дроби
а) \[ \frac{(-3-1)^2-1}{(-3)^2+1} =\frac{16-1}{10} =\frac{15}{10} =\frac32. \]
б) \(1\frac12=\frac32,\quad 0{,}5=\frac12\): \[ \frac{\left(\frac32+\frac12\right)^2-1}{\left(\frac32\right)^2+1} =\frac{2^2-1}{\frac94+1} =\frac3{\frac{13}{4}} =\frac{12}{13}. \]
6. Заполнение таблицы
Для каждого значения \(x\) подставляем его в формулу: \[ \frac{x+5}{x-3}. \]
Например, при \(x=\frac1{17}\): \[ \frac{\frac1{17}+5}{\frac1{17}-3} =\frac{\frac{86}{17}}{-\frac{50}{17}} =-\frac{43}{25}. \]
Проверка: ни одно из данных значений \(x\) не равно \(3\), поэтому все дроби определены.
