Реши 591

Краткий ответ

Так как \(\angle C=90^\circ\), сторона \(AB\) — гипотенуза.

а) \(BC=8,\ AB=17\)

\[ AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=15. \]

\[ \begin{aligned} &\sin A=\frac{8}{17},\quad \cos A=\frac{15}{17},\quad \operatorname{tg} A=\frac{8}{15};\\ &\sin B=\frac{15}{17},\quad \cos B=\frac{8}{17},\quad \operatorname{tg} B=\frac{15}{8}. \end{aligned} \]

б) \(BC=21,\ AC=20\)

\[ AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{21^2+20^2}=29. \]

\[ \begin{aligned} &\sin A=\frac{21}{29},\quad \cos A=\frac{20}{29},\quad \operatorname{tg} A=\frac{21}{20};\\ &\sin B=\frac{20}{29},\quad \cos B=\frac{21}{29},\quad \operatorname{tg} B=\frac{20}{21}. \end{aligned} \]

в) \(BC=1,\ AC=2\)

\[ AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5. \]

\[ \begin{aligned} &\sin A=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},\quad \cos A=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\quad \operatorname{tg} A=\frac12;\\ &\sin B=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5},\quad \cos B=\frac1{\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5},\quad \operatorname{tg} B=2. \end{aligned} \]

г) \(AC=24,\ AB=25\)

\[ BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{25^2-24^2}=7. \]

\[ \begin{aligned} &\sin A=\frac7{25},\quad \cos A=\frac{24}{25},\quad \operatorname{tg} A=\frac7{24};\\ &\sin B=\frac{24}{25},\quad \cos B=\frac7{25},\quad \operatorname{tg} B=\frac{24}{7}. \end{aligned} \]

Принцип: для угла \(A\) противоположная сторона — \(BC\), прилежащая — \(AC\); для угла \(B\) они меняются местами:

\[ \sin=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\quad \cos=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\quad \operatorname{tg}=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}. \]

Проверка: в каждом пункте выполняется \( \sin^2 x+\cos^2 x=1\), а \(\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}\).