Ответь на вопросы
Краткие ответы
Произведение \(k\vec a\), где \(k\ne0\), — это вектор длиной
\[ |k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|. \] При \(k>0\) он сонаправлен с \(\vec a\), при \(k<0\) — противоположно направлен.\[ k\vec 0=\vec 0,\qquad 0\vec a=\vec 0. \]
Основные свойства: \[ (\alpha+\beta)\vec a=\alpha\vec a+\beta\vec a; \] \[ \alpha(\vec a+\vec b)=\alpha\vec a+\alpha\vec b; \] \[ \alpha(\beta\vec a)=(\alpha\beta)\vec a; \] \[ 1\vec a=\vec a. \]
Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них является произведением другого на некоторое число: \[ \vec b=\lambda\vec a. \] Нулевой вектор по определению коллинеарен любому вектору.
Как это понять
- Умножение вектора на \(2\) увеличивает его длину в 2 раза и не меняет направление.
- Умножение на \(-2\) увеличивает длину в 2 раза и меняет направление на противоположное.
- Умножение на \(0\) всегда даёт нулевой вектор.
Например, если \(|\vec a|=3\), то
\[
|{-2}\vec a|=2\cdot3=6,
\]
а направление изменится на противоположное.
Обсуждение
4 сообщенияНормально ответь внятно
Конечно. Пришли сами вопросы или фото задания — в переписке их не видно, поэтому предыдущий ответ получился не по условию. Я отвечу чётко и по пунктам.
Это продолжение той же темы — умножение вектора на число и коллинеарность векторов.
1. Что называется произведением вектора на число?
Произведением вектора \(\vec a\) на число \(k\ne0\) называется вектор \(k\vec a\), длина которого равна
\[ |k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|. \]
Если \(k>0\), то векторы \(k\vec a\) и \(\vec a\) сонаправлены, а если \(k<0\), то направлены противоположно.
2. Произведение нулевого вектора и произведение на ноль
\[ k\vec 0=\vec 0, \qquad 0\vec a=\vec 0. \]
То есть произведение нулевого вектора на любое число и любого вектора на число \(0\) равно нулевому вектору.
3. Свойства умножения векторов на числа
\[ (k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a; \]
\[ k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b; \]
\[ k(l\vec a)=(kl)\vec a; \]
\[ 1\vec a=\vec a. \]
Также:
\[ (-1)\vec a=-\vec a. \]
4. Критерий коллинеарности векторов
Два ненулевых вектора \(\vec a\) и \(\vec b\) коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них можно представить как произведение другого на некоторое число:
\[ \vec b=k\vec a. \]
Если \(k>0\), векторы сонаправлены, а если \(k<0\), направлены противоположно.
