Реши и объясни

Пришли, пожалуйста, фото с заданиями №12 и №13 или перепиши их условия — в текущем сообщении текст заданий не виден.

Задание 12

Неравенство Чебышёва:

\[ P\left(|X-E(X)|\ge a\right)\le \frac{D(X)}{a^2}. \]

Среднее значение \(E(X)=4\). Событие

\[ X\le -1 \quad \text{или} \quad X>9 \]

означает, что \(X\) отклонилась от среднего значения 4 не менее чем на 5:

\[ a=5. \]

Тогда

\[ P\le \frac{10}{5^2}=\frac{10}{25}=0{,}4. \]

Ответ:

\[ \boxed{P\le 0{,}4} \]

или не более 40%.

Задание 13

Стандартное отклонение:

\[ \sigma=0{,}004\text{ мм}. \]

По неравенству Чебышёва:

\[ P\left(|X-E(X)|>a\right)\le \frac{\sigma^2}{a^2}. \]

Здесь \(a=0{,}008\) мм, поэтому

\[ P\le \frac{(0{,}004)^2}{(0{,}008)^2} =\left(\frac{0{,}004}{0{,}008}\right)^2 =\left(\frac12\right)^2 =\frac14=0{,}25. \]

Ответ:

\[ \boxed{P\le 0{,}25} \]

или не более 25%.

Запиши в тетради так:

12

Дано:

\[ M(X)=4,\qquad D(X)=10. \]

Найти:

\[ P(X\leq -1\ \text{или}\ X>9). \]

По неравенству Чебышёва:

\[ P\left(|X-M(X)|\geq a\right)\leq \frac{D(X)}{a^2}. \]

Так как

\[ X\leq -1\ \text{или}\ X>9 \quad\Rightarrow\quad |X-4|\geq 5, \]

то

\[ P(X\leq -1\ \text{или}\ X>9) \leq \frac{10}{5^2} =\frac{10}{25}=0{,}4. \]

Ответ:

\[ \boxed{P\leq 0{,}4} \]

13

Дано:

\[ \sigma(X)=0{,}004\text{ мм},\qquad a=0{,}008\text{ мм}. \]

По неравенству Чебышёва:

\[ P\left(|X-M(X)|\geq a\right) \leq \frac{\sigma^2(X)}{a^2}. \]

Подставим значения:

\[ P\leq \frac{(0{,}004)^2}{(0{,}008)^2} = \left(\frac{0{,}004}{0{,}008}\right)^2 = \left(\frac12\right)^2 = 0{,}25. \]

Ответ:

\[ \boxed{P\leq 0{,}25} \]

или не более \(25\%\).

Разберём задание №12 по шагам.

В условии даны:

\[ M(X)=4,\qquad D(X)=10. \]

Здесь:

• \(X\) — случайная величина;
• \(M(X)=4\) — её математическое ожидание, то есть среднее значение;
• \(D(X)=10\) — дисперсия.

Нужно оценить вероятность события:

\[ X\leq -1\quad\text{или}\quad X>9. \]

1. Находим отклонение от среднего

Среднее значение равно \(4\).

До числа \(-1\):

\[ 4-(-1)=5. \]

От числа \(4\) до \(9\):

\[ 9-4=5. \]

Значит, если \(X\leq -1\) или \(X>9\), то \(X\) отклонилась от среднего значения \(4\) не менее чем на \(5\):

\[ |X-4|\geq 5. \]

Поэтому берём

\[ a=5. \]

2. Применяем неравенство Чебышёва

Неравенство Чебышёва имеет вид:

\[ P\left(|X-M(X)|\geq a\right) \leq \frac{D(X)}{a^2}. \]

Подставляем:

\[ M(X)=4,\qquad D(X)=10,\qquad a=5. \]

Получаем:

\[ P\leq \frac{10}{5^2} =\frac{10}{25} =0{,}4. \]

Что означает ответ

\[ \boxed{P\leq 0{,}4} \]

Это значит, что искомая вероятность не превышает \(0{,}4\), или 40%. Мы нашли не точную вероятность, а её верхнюю границу с помощью неравенства Чебышёва.

Сначала разберём, откуда что берётся.

В условии:

\[ M(X)=4,\qquad D(X)=10. \]

• \(M(X)=4\) — среднее значение случайной величины \(X\);
• \(D(X)=10\) — её дисперсия.

Нужно оценить вероятность события:

\[ X\leq -1\quad\text{или}\quad X>9. \]

Среднее значение равно \(4\). Числа \(-1\) и \(9\) находятся от него на расстоянии \(5\):

\[ 4-(-1)=5,\qquad 9-4=5. \]

Значит, при событии \(X\leq -1\) или \(X>9\) величина \(X\) отклоняется от среднего значения не менее чем на \(5\):

\[ |X-4|\geq 5. \]

Поэтому в неравенстве Чебышёва берём:

\[ a=5. \]

Неравенство Чебышёва:

\[ P\left(|X-M(X)|\geq a\right)\leq \frac{D(X)}{a^2}. \]

Запись в тетради

12.

\[ M(X)=4,\qquad D(X)=10. \]

Так как

\[ 4-(-1)=5,\qquad 9-4=5, \]

то событие

\[ X\leq -1\quad\text{или}\quad X>9 \]

влечёт за собой неравенство

\[ |X-4|\geq 5. \]

По неравенству Чебышёва:

\[ P\left(|X-M(X)|\geq a\right) \leq \frac{D(X)}{a^2}. \]

Следовательно,

\[ P(X\leq -1\ \text{или}\ X>9) \leq \frac{10}{5^2} =\frac{10}{25} =0{,}4. \]

Ответ:

\[ \boxed{P(X\leq -1\ \text{или}\ X>9)\leq 0{,}4} \]

или вероятность не превышает \(40\%\).

Разберём, откуда берётся каждый шаг.

• \(M(X)=4\) и \(D(X)=10\) — это данные из условия.
• \(M(X)=4\) — среднее значение случайной величины.
• \(D(X)=10\) — дисперсия.
• Числа \(-1\) и \(9\) находятся от среднего \(4\) на расстоянии \(5\):

\[ 4-(-1)=5,\qquad 9-4=5. \]

Поэтому событие \(X\leq -1\) или \(X>9\) означает, что \(X\) отклонилась от среднего значения не менее чем на \(5\):

\[ |X-4|\geq 5. \]

Значит, в неравенстве Чебышёва \(a=5\).

Запись в тетради

12.

\[ M(X)=4,\qquad D(X)=10. \]

По неравенству Чебышёва:

\[ P\left(|X-M(X)|\geq a\right) \leq \frac{D(X)}{a^2}. \]

Так как

\[ 4-(-1)=5,\qquad 9-4=5, \]

то

\[ X\leq -1\ \text{или}\ X>9 \quad\Rightarrow\quad |X-4|\geq 5. \]

Следовательно, \(a=5\), и

\[ \begin{aligned} P(X\leq -1\ \text{или}\ X>9) &\leq \frac{10}{5^2}\\ &=\frac{10}{25}\\ &=0{,}4. \end{aligned} \]

Ответ:

\[ \boxed{P(X\leq -1\ \text{или}\ X>9)\leq 0{,}4} \]

То есть вероятность этого события не превышает \(40\%\).

В №13 используются данные:

\[ \sigma(X)=0{,}004\text{ мм},\qquad a=0{,}008\text{ мм}. \]

Здесь:

• \(\sigma(X)\) — среднее квадратическое отклонение;
• \(M(X)\) — математическое ожидание;
• \(a=0{,}008\) мм — величина отклонения, указанная в условии.

Неравенство Чебышёва использует дисперсию \(D(X)\), а не среднее квадратическое отклонение. Поэтому применяем формулу:

\[ D(X)=\sigma^2(X). \]

Запись в тетради

13.

\[ \sigma(X)=0{,}004\text{ мм},\qquad a=0{,}008\text{ мм}. \]

По неравенству Чебышёва:

\[ P\left(|X-M(X)|\geq a\right) \leq \frac{D(X)}{a^2}. \]

Так как

\[ D(X)=\sigma^2(X), \]

то

\[ \begin{aligned} P\left(|X-M(X)|>0{,}008\right) &\leq \frac{(0{,}004)^2}{(0{,}008)^2}\\ &= \left(\frac{0{,}004}{0{,}008}\right)^2\\ &= \left(\frac12\right)^2\\ &= 0{,}25. \end{aligned} \]

Ответ:

\[ \boxed{P\leq 0{,}25} \]

То есть вероятность отклонения более чем на \(0{,}008\) мм не превышает \(25\%\).

Задание 14

Средняя длина нити:

\[ M(X)=600\text{ м}. \]

Стандартное отклонение:

\[ \sigma(X)=30\text{ м}. \]

Нужно найти верхнюю оценку вероятности того, что длина нити отличается от средней более чем на \(50\) м.

Запись в тетради

Дано:

\[ M(X)=600\text{ м},\qquad \sigma(X)=30\text{ м},\qquad a=50\text{ м}. \]

Рассмотрим событие:

\[ |X-600|>50. \]

По неравенству Чебышёва:

\[ P\left(|X-M(X)|>a\right) \leq \frac{\sigma^2(X)}{a^2}. \]

Подставим значения:

\[ \begin{aligned} P\left(|X-600|>50\right) &\leq \frac{30^2}{50^2}\\ &=\frac{900}{2500}\\ &=0{,}36. \end{aligned} \]

Ответ:

\[ \boxed{P\leq 0{,}36} \]

или вероятность не превышает \(36\%\).

Здесь \(50\) м — это указанное в условии отклонение, а \(30\) м возводится в квадрат, потому что в формуле используется дисперсия \(\sigma^2(X)\).