Реши 1 и 3 задание

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle \frac{10\sqrt2}{3}\).
2. \(\sqrt3\).

Задание 1

Используем координаты:

\[ A(0,0,0),\quad B(4,0,0),\quad D(0,4,0),\quad A_1(0,0,4), \] \[ C_1(4,4,4). \]

Так как \(AD=4\) и \(AE:ED=1:3\), то \(AE=1\). Поэтому

\[ E(0,1,0). \]

Направляющие векторы плоскости \((A_1BE)\):

\[ \overrightarrow{A_1B}=(4,0,-4),\qquad \overrightarrow{A_1E}=(0,1,-4). \]

Их векторное произведение даёт нормаль к плоскости:

\[ \vec n=(4,16,4)\sim(1,4,1). \]

Уравнение плоскости через точку \(A_1\):

\[ x+4y+z=4. \]

Расстояние от точки \(C_1(4,4,4)\) до этой плоскости:

\[ d=\frac{|4+4\cdot4+4-4|}{\sqrt{1^2+4^2+1^2}} =\frac{20}{\sqrt{18}} =\boxed{\frac{10\sqrt2}{3}}. \]

Проверка: точки \(A_1\), \(B\) и \(E\) удовлетворяют уравнению \(x+4y+z=4\), значит плоскость составлена верно.

Задание 3

Разместим правильный шестиугольник в плоскости \(z=0\). Так как сторона правильного шестиугольника равна его радиусу, можно взять:

\[ \begin{aligned} &A(2,0,0),\quad B(1,\sqrt3,0),\quad C(-1,\sqrt3,0),\\ &D(-2,0,0),\quad E(-1,-\sqrt3,0),\quad F(1,-\sqrt3,0). \end{aligned} \]

Высота призмы равна \(2\), поэтому

\[ B_1(1,\sqrt3,2),\qquad C_1(-1,\sqrt3,2). \]

Векторы плоскости \((FB_1C_1)\):

\[ \overrightarrow{FB_1}=(0,2\sqrt3,2), \qquad \overrightarrow{FC_1}=(-2,2\sqrt3,2). \]

Нормаль к плоскости:

\[ \vec n=\overrightarrow{FB_1}\times\overrightarrow{FC_1} =(0,-4,4\sqrt3)\sim(0,-1,\sqrt3). \]

Уравнение плоскости через \(F(1,-\sqrt3,0)\):

\[ y-\sqrt3z+\sqrt3=0. \]

Теперь найдём расстояние от \(B(1,\sqrt3,0)\):

\[ d=\frac{|\sqrt3-\sqrt3\cdot0+\sqrt3|} {\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}} =\frac{2\sqrt3}{2} =\boxed{\sqrt3}. \]

Проверка: точки \(F\), \(B_1\) и \(C_1\) удовлетворяют уравнению плоскости, значит результат верен.