Реши и объясни

Ответ: \(2\).

Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду \(SABCD\), где \(ABCD\) — квадрат со стороной \(4\).

1. Найдём высоту пирамиды

Апофема равна \(4\). Если \(M\) — середина стороны основания, то:

• \(SM=4\);
• \(OM=\dfrac{4}{2}=2\), где \(O\) — центр квадрата;
• \(SO\perp ABCD\).

В прямоугольном треугольнике \(SOM\):

\[ SO=\sqrt{SM^2-OM^2} =\sqrt{4^2-2^2} =\sqrt{12}=2\sqrt3. \]

2. Введём координаты

Пусть

\[ A(-2,-2,0),\quad C(2,2,0),\quad D(-2,2,0), \]

а вершина пирамиды

\[ S(0,0,2\sqrt3). \]

Точка \(E\) — середина \(SC\), поэтому

\[ E\left(1,1,\sqrt3\right). \]

3. Уравнение плоскости \((ADE)\)

Векторы:

\[ \overrightarrow{AD}=(0,4,0),\qquad \overrightarrow{AE}=(3,3,\sqrt3). \]

Их векторное произведение задаёт нормаль к плоскости:

\[ \vec n=(4\sqrt3,0,-12). \]

Можно взять пропорциональную нормаль:

\[ \vec n=(\sqrt3,0,-3). \]

Уравнение плоскости через точку \(A(-2,-2,0)\):

\[ \sqrt3(x+2)-3z=0. \]

4. Расстояние от \(C\) до плоскости

Подставим координаты \(C(2,2,0)\):

\[ d=\frac{\left|\sqrt3(2+2)-3\cdot0\right|} {\sqrt{(\sqrt3)^2+0^2+(-3)^2}} = \frac{4\sqrt3}{\sqrt{12}} = \frac{4\sqrt3}{2\sqrt3}=2. \]

\[ \boxed{2} \]