Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. а) Например: \((A_1B_1C_1)\), \((A_1D_1D)\), \((C_1D_1D)\).
   б) \(AC\).
   в) На фото последняя буква неразборчива:

• если указано \(B_1D_1\), то плоскость \((BB_1D_1)\);
• если указано \(B_1A_1\), такой плоскости не существует.

2. Нет, не могут.

3. Прямые \(KM\) и \(AB\) лежат в плоскости \((ABC)\).

4. Нужно взять плоскости \((ABD)\) и \((ACD)\). Их пересечение — прямая \(AD\).

Объяснение

1

а) Точка \(D_1\) принадлежит, например:

• верхней плоскости \((A_1B_1C_1)\);
• передней плоскости \((A_1D_1D)\);
• правой плоскости \((C_1D_1D)\).

б) Плоскость \((BCD)\) содержит диагональ основания \(AC\). Плоскость \((A_1AC)\) также содержит \(AC\). Поэтому

\[ (BCD)\cap(A_1AC)=AC. \]

в) Если в условии стоит \(B_1D_1\), то прямые \(BD_1\) и \(B_1D_1\) пересекаются в точке \(D_1\). Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость:

\[ (BD_1)\cap(B_1D_1)=D_1, \qquad \text{плоскость }(BB_1D_1). \]

Если же написано \(B_1A_1\), то прямые \(BD_1\) и \(B_1A_1\) являются скрещивающимися, поэтому общей плоскости у них нет.

2

Нет. Если бы две плоскости имели общую точку, то по аксиоме стереометрии они пересекались бы по некоторой прямой. Значит, непересекающиеся плоскости общих точек не имеют.

3

Так как точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой, через них проходит единственная плоскость \((ABC)\).

Поскольку

\[ K\in AC,\qquad M\in BC, \]

то точки \(K\) и \(M\) принадлежат плоскости \((ABC)\). Следовательно, прямая \(KM\) лежит в этой плоскости.

Точки \(A\) и \(B\) также принадлежат плоскости \((ABC)\), поэтому и прямая \(AB\) лежит в ней. Значит, прямые \(KM\) и \(AB\) являются компланарными.

4

Рассмотрим плоскости

\[ \alpha=(ABD),\qquad \beta=(ACD). \]

Обе плоскости содержат точки \(A\) и \(D\), поэтому содержат и прямую \(AD\).

Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) не совпадают: иначе точки \(A,B,C,D\) лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию. Следовательно, две различные плоскости пересекаются по единственной прямой:

\[ \alpha\cap\beta=AD. \]

Использованы:

• аксиома о плоскости через три точки, не лежащие на одной прямой;
• теорема: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости;
• аксиома о пересечении двух плоскостей по прямой.